Zadania maturalne 2011 poz. podst.

Zadania zamknięte

 Zadanie 1.(1 pkt)

 Wskaż nierówność, którą spełnia liczba $\pi.\ $

$A.\ |x+1|>5\quad  B.\ |x-1|<2\quad  C.\ |x+\frac{2}{3} |\leq4\quad D.\ |x-\frac{1}{3}|\geq3$

Zadanie 2.(1pkt)

Pierwsza rata, która stanowi $9%\ $ceny roweru, jest równa $189\ $zł. Rower kosztuje

$A.\ 1701\ $zł.         $B.\ 2100\ $zł.         $C.\ 1890\ $zł.         $D.\ 2091\ $zł.

Zadanie 3.(1pkt)

Wyrażenie  $5a^2-10ab+15a\ $ jest równe iloczynowi

$A.\ 5a^2(1-10b+3)\quad B.\ 5a(a-2b+3)\quad C.\ 5a(a-10b+15)\quad D.\ 5(a-2b+3)$

Zadanie 4.(1pkt)

Układ równań  $\left\{\begin{array}{cc}4x+2y=10 \\ 6x +ay=15\end{array}\right.\ $ ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli

$A.\ a=-1\qquad B.\ a=0\qquad C.\ a=2\qquad D.\ a=3\ $

Zadanie 5.(1pkt)

Rozwiązanie równania $x(x+3)-49=x(x-4)\ $ należy do przedziału

$A.\ (-\infty,3)\qquad B.\ (10,\infty)\qquad C.\ (-5,-1)\qquad D.\ (2,\infty)$

Zadanie 6.(1pkt)

Najmniejszą liczbą całkowitą należącą do zbioru rozwiązań nierówności $\frac{3}{8}+\frac{x}{6}<\frac{5x}{12}\ $ jest

$A.\ 1\qquad B.\ 2 \qquad C.\ -1 \qquad D.\ -2\qquad$

Zadanie 7.(1pkt)

Wskaż, który zbiór przedstawiony na osi liczbowej jest zbiorem liczb spełniających jednocześnie następujące nierówności: $3(x-1)(x-5) \leq0 \ $ i $x>1.$

Zadanie 8.(1pkt)

Wyrażenie $\log_4(2x-1)\ $jest określone dla wszystkich liczb $x\ $ spełniających warunek

$ A.\ x \leq \frac{1}{2}\qquad B.\ x>\frac{1}{2} \qquad C.\ x \leq \frac{1}{2}\qquad D.\ x>0$

Zadanie 9.(1pkt)

Dane są funkcje liniowe $f(x)=x-2\ $ oraz $g(x)=x+4\ $ określone dla wszystkich liczb rzeczywistych $x.$ Wskaż, który z poniższych wykresów jest wykresem funkcji $h(x)=f(x)\cdot g(x).$

Zadanie 10.(1pkt)

Funkcja liniowa określona jest wzorem $f(x)=-\sqrt{2}x+4.$ Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba

$A.\ -2\sqrt{2} \qquad B.\ \frac{\sqrt{2}}{2} \qquad C.\ -\frac{\sqrt{2}}{2} \qquad D.\ 2\sqrt{2}$

Zadanie 11.(1pkt)

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)\ $, w którym $a_3=1\ $ i $a_4=\frac{2}{3}.$ Wtedy

$A.\ a_1=\frac{2}{3}\qquad B.\ a_1=\frac{4}{9}\qquad C,\ a_1=\frac{3}{2}\qquad D.\ a_1=\frac{9}{4}$

Zadanie 12.(1pkt)

Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny $9a_n)\ $ o wyrazach dodatnich. Wtedy

$A.\ a_4+a_7=a_{10}\qquad B.\ a_4+a_6=a_3+a_8\qquad C.\ a_2+a_9=a_3+a_8\qquad D.\ a_5+a_7=2a_8$

Zadanie 13.(1pkt)

Kąt $\alpha\ $ jest ostry i $cos\alpha=\frac{5}{13}.$ Wtedy

$A.\ sin\alpha=\frac{12}{13}\ $ oraz $tg\alpha=\frac{12}{5}\qquad B.\ sin\alpha=\frac{12}{13}\ $ oraz $tg\alpha=\frac{5}{12}\ $  $ \qquad C.\  sin\alpha=\frac{12}{5}\ $ oraz $tg\alpha=\frac{12}{13}\qquad D.\ sin\alpha=\frac{5}{12}\ $ oraz $tg\alpha=\frac{12}{13}$

Zadanie 14.(1pkt)

Wartość wyrażenia $$\frac{\sin^2{38^o}+\cos^2{38^o}-1}{\sin^2{52^o}+\cos^2{52^o}+1}\ $$ jest rówwna

$A.\ \frac{1}{2} \qquad B.\ 0 \qquad C.\ -\frac{1}{2} \qquad D.\ 1 $

Zadanie 15.(1pkt)

W prostopadłościanie $ABCDEFGH\ $ mamy: $ |AB|=5,\ |AD|=4,\ |AE|=3.\ $ Który z odcinków $AB,\ BG,\ GE,\ EB\ $ jest najdłuższy?

$A.\ AB \qquad B.\ BG \qquad C.\ GE \qquad D.\ EB $

Zadanie 16.(1pkt)

Punkt $O\ $ jest środkiem okręgu. Kąt wpisany $\alpha\ $ ma miarę

$A.\ 80^o\qquad B.\ 100^o \qquad C.\ 110^o \qquad D.\ 120^o $

Zadanie 17.(1pkt)

Wysokość rombu o boku długości $6\ $ i kącie ostrym $60^o\ $ jest równa

$A.\ 3\sqrt3 \qquad B.\ 3 \qquad C.\ 6\sqrt3 \qquad D\ 6 $

Zadanie 18. (1 pkt)

Prosta  k ma równanie  y = 2x − 3 . Wskaż równanie prostej  l równoległej do prostej
 k i  przechodzącej przez punkt D o współrzędnych (−2,1) .

A.  y = − 2x +  3        B.  y =  2x + 1       C.  y = 2 x + 5       D.  y = −x  + 1

Zadanie 19. (1 pkt)

Styczną do okręgu $ (x −1)^2 + y^ 2  −  4 = 0$  jest prosta o równaniu

A. x =1     B. x = 3     C. y = 0     D.  y = 4

Zadanie 20. (1 pkt)

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 54. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

A. $\sqrt6\ $       B. 3      C. 9      D.  $3\sqrt3$

Zadanie 21. (1 pkt)

Objętość stożka o wysokości 8 i średnicy podstawy 12 jest równa

A. 124π      B.  96π      C. 64π      D.  32π

Zadanie 22. (1 pkt)

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania
sumy oczek równej trzy wynosi

$A.\  \frac{1}{6} \qquad B.\ \frac{1}{9} \qquad C.\  \frac{1}{12} \qquad D.\  \frac{1}{18} $

Zadanie 23. (1 pkt)

 Uczniowie pewnej klasy zostali poproszeni o odpowiedź na pytanie: „Ile osób liczy twoja rodzina?”



 Wyniki przedstawiono w tabeli:

Średnia liczba osób w rodzinie dla uczniów tej klasy jest równa 4. Wtedy liczba x jest równa

A. 3       B. 4       C.  5         D.  7

ZADANIA OTWARTE

Zadanie 24. (2 pkt)

 Rozwiąż nierówność   $3x^2-10x+3\leq0.$


Zadanie 25. (2 pkt) 
Uzasadnij, że jeżeli $a+b=1\ $ i $a^2+b^2=7\ $,to $a^4+b^4=31.$ 

Zadanie 26. (2 pkt)

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f. 
Odczytaj z wykresu i zapisz: 

a) zbiór wartości funkcji f, 
b) przedział maksymalnej długości, w którym funkcja  f  jest malejąca. 

Zadanie 27. (2 pkt)

Liczby   x,  y, 19  w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym  x+ y  =  8.
Oblicz  x i y.

Zadanie 28. (2 pkt)

Kąt α jest ostry i $$\frac{sin\alpha}{cos\alpha}+\frac{cos\alpha}{sin\alpha}=2.$$
Oblicz wartość wyrażenia $sin\alpha \cdot cos\alpha.$

Zadanie 29. (2 pkt)

Dany jest czworokąt  ABCD, w którym  AB||CD . Na boku  BC  wybrano taki punkt  E,
że  |EC| = |CD| i  |EB| = |BA| . Wykaż, że kąt AED jest prosty.

Zadanie 30. (2 pkt)

Ze zbioru liczb{1,2,3,...,7 }  losujemy kolejno dwa razy po  jednej liczbie ze zwracaniem.
Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest podzielna przez 3.

Zadanie 31. (4 pkt)

Okrąg o środku w punkcie  S = (3,7) jest styczny do prostej o równaniu  y= 2x −3. Oblicz
współrzędne punktu styczności.

Zadanie 32. (5 pkt)

Pewien turysta pokonał trasę 112 km, przechodząc każdego dnia tę samą liczbę kilometrów.
Gdyby mógł przeznaczyć na tę  wędrówkę o 3 dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby
przechodzić o 12 km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta.

Zadanie 33. (4 pkt)

Punkty  K, L  i  M  są środkami krawędzi  BC, GH i  AE sześcianu  ABCDEFGH o krawędzi
długości 1 (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta KLM.

 Odpowiedzi:

 1 | 2 | 3  | 4 | 5  | 6  | 7  | 8 |  9 |10 | 11| 12| 13|14| 15| 16|17 |18| 19|20 |21|22 |23
C | B | A | D | D | B | C | B | A | D | D  | C | A | B | C | B | A | C | B | D | B | D | D
24.    $<\frac{1}{3},3>$
25.    Dowód
26.    <-2,3>,  <-2,2>
27.    x = -1, y = 9
28.    0,5
29.    Dowód
30.    $\frac{16}{49}$
31.    $(\frac{23}{5}, \frac{31}{5})$
32.    28 km
33.    $\frac{3\sqrt{3}}{8}.$

Zadania maturalne 2011 poz. rozsz.

Zadanie 1. (4 pkt)

Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej  $k$ liczba  $k^6 − 2k^4 + k^2$ jest podzielna przez $36.$

Zadanie 2. (4 pkt)

Uzasadnij, że jeżeli $a\neq b,\ a\neq c,\ b\neq c\ $ i $a+b=2c$, to $\frac{a}{a-b}+\frac{b}{b-c}=2.$

Zadanie 3. (6 pkt)

Wyznacz   wszystkie   wartości   parametru   $ m$ ,   dla   których   równanie   $x^2-4mx-m^3+6m^2+m-2=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1,\ x_2$ takie, że $(x_1-x_2)^2<8(m+1).$

Zadanie 4. (4 pkt)

Rozwiąż równanie  $2sin ^ 2x-2sin ^2xcosx=1- cos x $  w przedziale  $<0,\ 2\pi>.$

Zadanie 5. (4 pkt)

O ciągu $( x_n)$ dla  $n ≥1$ wiadomo, że:
a) ciąg $(a_n )$  określony wzorem $a_n=3^{x_n}$ dla  $n ≥1$  jest geometryczny o ilorazie  $q = 27.$
b) $x_1+x_2+\ ...\ +x_{10}=145.$
Oblicz $x_1.$

 Zadanie 6. (4 pkt)

Podstawa $ AB$ trójkąta równoramiennego  $ABC$ ma długość $8$ oraz  $|\angle BAC| = 30 °.$ Oblicz długość środkowej $AD$ tego trójkąta.

Zadanie 7. (4 pkt)

Oblicz miarę  kąta między stycznymi do okręgu  $x^2+y^2+2x-2y-3=0$ poprowadzonymi przez punkt $A = (2,0).$ 

Zadanie 8. (4 pkt)

Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, w których suma długości
wszystkich krawędzi jest równa 24, jest taki, który ma największe pole powierzchni bocznej.
Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.



. Zadanie 9. (4 pkt)
Oblicz, ile jest liczb ośmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, natomiast
występują dwie dwójki i występują trzy trójki.

Zadanie 10. (3 pkt)

Dany jest czworokąt wypukły  $ABCD$  niebędący równoległobokiem. Punkty  $M,  N$  są
odpowiednio środkami boków $AB$ i $CD.$  Punkty $P, Q$  są odpowiednio środkami przekątnych
$AC$ i $BD.$  Uzasadnij, że $ MQ\parallel PN.$

Zadanie 11. (6 pkt)

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny  $ABCDS$ o podstawie  $ABCD.$ W trójkącie
równoramiennym  $ASC$ stosunek długości podstawy do długości ramienia jest równy
$|AC|: |AS| = 6 : 5.$ Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

 Zadanie 12. (3 pkt)

$A, B$  są zdarzeniami losowymi zawartymi w  $Ω .$ Wykaż, że jeżeli  $P(A) = 0,9$ i  $P(B) = 0,7 ,$ to  $P(A∩B')  ≤  0,3$  ($ B'$ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia$ B$).

 Odpowiedzi:

 1.  Dowód,
 2.  Dowód,
 3.  $m\in(0,1)\cup(2,3)$,
 4.  $x\in\{0,\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4},2\pi\}$,
 5.  $x_1=1$,
 6.  $|AD|=\frac{4\sqrt{21}}{3}$,
 7.  $|\angle{BAC}|=90^0$,
 8.  $a=1$,
 9.  $192080$,
10. Dowód,
11.$sin\alpha=\frac{4\sqrt{82}}{41}$,
12. Dowód.

Zadania maturalne 2010 poz. podst.

Poziom podstawowy

ZADANIA ZAMKNIĘTE

Zadanie 1. (1 pkt)

Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności $ |x +7| >5.$

Zadanie 2. (1 pkt)

Spodnie po obniżce ceny o 30% kosztują 126 zł. Ile kosztowały spodnie przed obniżką?

A.  163,80 zł      B.  180 zł      C.   294 zł      D.   420 zł

Zadanie 3. (1 pkt)

Liczba  $(\frac{2^{-2}\cdot3^{-1}}{2^{-1}\cdot3^{_2}})^0$  jest równa

A.   1       B.   4       C.   9       D.    36

Zadanie 4. (1 pkt)

Liczba  $\log_4{8}+  log_4 2 $ jest równa

A.   1       B.  2       C.   $\log_4{6}$     D.    $\log_4{10}$

Zadanie 5. (1 pkt)

Dane są wielomiany  $W(x)= -2x^3+5x^2-3$ oraz $P(x)=2x^3+12x.$ Wielomian  $W(x)+P(x)$ jest równy

A.  $5x^2+12x-3$
B.  $4x^3+5x^2+12x-3$
C.  $4x^6+5x^2+12x-3$
D.  $4x^3+12x-3$

Zadanie 6. (1 pkt)

Rozwiązaniem równania  $\frac{3x-1}{7x+1}=\frac{2}{5}$  jest

A.   1       B.   $\frac{7}{3}$      C.   $\frac{4}{3}$      D.   7

Zadanie 7. (1 pkt)

Do zbioru rozwiązań nierówności $ (x− 2) ( x  +3 ) <  0 $  należy liczba

 A.    9        B.   7        C.   4        D.   1

Zadanie 8. (1 pkt)

Wykresem funkcji kwadratowej $f ( x )  = −3x ^2 + 3$  jest parabola o wierzchołku w punkcie

A.   (  3, 0)      B.   (0,3 )      C.   (−3, 0)     D  .  ( 0,-3)

Zadanie 9. (1 pkt)

Prosta o równaniu  $ y=- x+(3m+3)$ przecina w układzie współrzędnych oś Oy w punkcie
( 0, 2 ) . Wtedy

A.   $m=-\frac{2}{3}$      B.   $m=-\frac{1}{3}$      C.   $m=\frac{1}{3}$     D.     $m=\frac{5}{3}$

Zadanie 10. (1 pkt)

Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji  y = f (x) .

Które równanie ma dokładnie trzy rozwiązania?

A.   f(x) = 0     B.   f(x) = 1     C.   f(x) = 2     D.   f(x) = 3

Zadanie 11. (1 pkt)

W ciągu arytmetycznym $(a_n) $ dane są: $a_3 =13$  i  $a_5 = 39 .$ Wtedy wyraz $ a_ 1$  jest równy

A.    13       B.    0       C.    −13      D.    −26

Zadanie 12. (1 pkt)

W ciągu geometrycznym ( an ) dane są: $a_1 = 3$  i  $a_4=24.$  Iloraz tego ciągu jest równy

A.    8        B.    2        C.   $\frac{1}{8}$       D.    $-\frac{1}{2}$  

Zadanie 13. (1 pkt)

Liczba przekątnych siedmiokąta foremnego jest równa

A.     7       B.    14       C.    21       D.     28

Zadanie 14. (1 pkt)

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin\alpha=\frac{3}{4}.$ Wartość wtrażenia $2-(\cos\alpha)^2$ jest równa

A.   $\frac{25}{16}$     B.   $\frac{3}{2}$     C.   $\frac{17}{16}$     D.   $\frac{31}{16}$

Zadanie 15. (1 pkt)

Okrąg opisany na kwadracie ma promień 4. Długość boku tego kwadratu jest równa

A.   $4\sqrt{2}$       B.   $2\sqrt{2}$       C.   8        D.   4

Zadanie 16. (1 pkt)

Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość 6, a ramię ma długość 5. Wysokość
opuszczona na podstawę ma długość

A.    3       B.    4       C.   $\sqrt{ 34}$       D.   $\sqrt{61 }$

Zadanie 17. (1 pkt)

Odcinki AB i  DE  są równoległe. Długości odcinków CD,  DE i AB  są odpowiednio równe
1, 3 i  9. Długość odcinka AD jest równa

A.    2        B.    3        C.    5        D.    6

Zadanie 18. (1 pkt)

Punkty A, B, C leżące na okręgu o środku S są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Miara
zaznaczonego na rysunku kąta środkowego ASB jest równa

A.   120°      B.   90°      C.   60°      D.    30°

Zadanie 19. (1 pkt)

Latawiec ma wymiary podane na rysunku. Powierzchnia
zacieniowanego trójkąta jest równa

A.   3200 $cm^2$

B.   6400 $cm^2$

C.   1600 $cm^2$

D.    800 $cm^2$

Zadanie 20. (1 pkt)

Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o równaniu   y = −3x +5 jest równy:

A.    $-\frac{1}{3}$       B.  $ -3$      C.   $\frac{1}{3}$        D.   3


 Zadanie 21. (1 pkt)
Wskaż równanie okręgu o promieniu 6.

A.  $^2+y^2=3$     B.  $x^2+y^2=6$     C.  $x^2+y^2=12$     D.  $x^2+y^2=36$

Zadanie 22. (1 pkt)

Punkty  A = (−5, 2 )  i  B = ( 3, − 2 ) są wierzchołkami trójkąta równobocznego  ABC. Obwód
tego trójkąta jest równy

A.   30      B.   4$\sqrt5$      C.   12$\sqrt5$      D.   36



 Zadanie 23. (1 pkt)
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach 5 × 3 ×  4  jest równe
A.   94      B.   60      C.   47      D.    20

Zadanie 24. (1 pkt)

Ostrosłup ma 18 wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa
A.    11       B.   18       C.   27       D.   34

Zadanie 25. (1 pkt)

Średnia arytmetyczna dziesięciu liczb  x, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 5 jest równa 3. Wtedy
A.    x = 2      B.    x = 3      C.    x = 4      D.    x = 5

ZADANIA OTWARTE

Zadanie 26. (2 pkt)

Rozwiąż nierówność

$x^2- x -2 ≤  0 . $

Zadanie 27. (2 pkt)

Rozwiąż równanie $x^3-7x^2-4x+28=0.$

Zadanie 28. (2 pkt)

Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE  są położone tak, jak na poniższym rysunku
(w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty). Wykaż, że  |AD| = |BE|  .

Zadanie 29. (2 pkt)

Kąt $\alpha$ jest ostry i  $tg\alpha=\frac{5}{12}.$ Oblicz $\cos\alpha.$

 Zadanie 30. (2 pkt)

Wykaż, że jeśli  a > 0 , to $\frac{a^2+1}{a+1}\ge\frac{a+1}{2}.$

Zadanie 31. (2 pkt)

W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt
równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 6. Oblicz obwód tego trapezu.

Zadanie 32. (4 pkt)

Podstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt ABC. Krawędź AD jest wysokością ostrosłupa (zobacz
rysunek). Oblicz objętość ostrosłupa  ABCD, jeśli wiadomo,  że  |AD| =12 ,  |BC| = 6 ,
|BD| = |CD|  = 13.

Zadanie 33. (4 pkt)

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia  A polegającego na tym,  że w pierwszym rzucie
otrzymamy parzystą liczbę oczek i iloczyn liczb oczek w obu rzutach będzie podzielny przez 12.
Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Zadanie 34. (5 pkt)

W dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu
ma powierzchnię 240$ m^2.$  Basen w drugim hotelu ma powierzchnię 350 $m^2$, oraz jest o 5 m
dłuższy i 2 m szerszy niż w pierwszym hotelu. Oblicz, jakie wymiary mogą mieć baseny w obu hotelach. Podaj wszystkie możliwe odpowiedzi.

Odpowiedzi:

1. C         6.  D       11.  C       16.  B       21.  D
2. B         7.  D       12.  B       17.  A       22.  C
3. A         8.  B       13.  B       18.  A       23.  A
4. B         9.  B       14.  A       19.  C       24.  D 
5. A        10.  C       15.  A       20.  B      25.  D

26.  $x\in<-3,1>$    27. $x=-2\vee\ x=2\vee\ x=7$    28.  Wskazówka: trójkąty ADC i BEC są przystające
29.  $\cos\alpha=\frac{12}{13}$    30.  Dowód    31.  $15+3\sqrt{3}$    32.  48    33.  $P=\frac{1}{6}$
34.  12m x 20m i 14m x 25m  lub  8m x 30m i 10m x 35m.

Zadania maturalne 2010 poz. rozsz.

Poziom rozszerzony

Zadanie 1. (4 pkt)

Rozwiąż nierówność $|2x+4|+|x-1|\leq6.$

Zadanie 2. (4 pkt)

Wyznacz wszystkie rozwiązania równania
 $2\cos^2{x}-5\sin{x}-4=0$ dla $ \ x\in<o,2\pi>.$

Zadanie 3. (4 pkt)

Bok kwadratu $ABCD$ ma długość $1.$ Na bokach $ BC$ i $CD$ wybrano odpowiednio punkty $E$ i $F$
umieszczone tak, by $|CE|=2|DF|.$  Oblicz wartość  $x = | DF|$ , dla której pole trójkąta $AEF$
jest najmniejsze.

Zadanie 4. (4 pkt)

Wyznacz wartości  $a$ i  $b$ współczynników wielomianu   $W (x)=x^3+ax+ bx^2+1$  wiedząc,
że   $W ( 2) =7$  oraz, że reszta z dzielenia $W(x )$  przez $ ( x − 3)$ jest równa $10.$

Zadanie 5. (5 pkt)

O liczbach  $a,  b,  c$ wiemy,  że ciąg  $(a, b, c )$ jest arytmetyczny i  $a + c  =10$ , zaś ciąg
$( a + 1, b + 4, c + 19)$  jest geometryczny. Wyznacz te liczby.

Zadanie 6. (5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru  $m$, dla których równanie $x^2 + mx +2 =  0$  ma dwaróżne pierwiastki rzeczywiste takie, że suma ich kwadratów jest większa od $2m^2 −13 .$

Zadanie 7. (6 pkt)

Punkt $A = (− 2 ,5)$  jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego  $ABC$, w którym
$|AC |= |BC | .$    Pole tego trójkąta jest równe $15.$ Bok $ BC$ jest zawarty w prostej o równaniu
$y= x  +1.$ Oblicz współrzędne wierzchołka $C. $

Zadanie 8. (5 pkt)

Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji  $ f (x )=\frac{1}{x^2}.$

Przeprowadzono prostą równoległą do osi $ Ox$ , która przecięła wykres tej funkcji w punktach $ A$ i $B. $  Niech $C = − (3, 1) .$ Wykaż, że pole trójkąta $ABC$ jest większe lub równe $2.$ 

Zadanie 9. (4 pkt)

Na bokach $BC$ i $CD$ równoległoboku $ABCD$ zbudowano kwadraty $CDEF$ i $BCGH$ (zobacz
rysunek). Udowodnij, że  $AC = FG .$

Zadanie 10. (4 pkt)

Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w trzech rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry suma kwadratów liczb uzyskanych oczek będzie podzielna przez 3.

Zadanie 11. (5 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość $a.$ Ściany boczne są trójkątami ostrokątnymi. Miara kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi jest równa  $2\alpha .$
Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

Odpowiedzi:

1.  $<-3,1>$    2.  $x=\frac{7\pi}{6}\vee\ x=\frac{11\pi}{6}$    3.  $x=\frac{1}{4}$    4.  a = - 5 i b = 9
5.  (26, 5, - 16) lub (2, 5, 8)    6.$m\in(-3,-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2,3)$    7.  C(- 3, - 2) lub C(5, 6)    8.  Dowód    9.  Dowód    10.  $\frac{1}{3}$    11.  $V=\frac{a^3\cos\alpha}{12\sqrt{4(\sin\alpha)^2-1}}.$

Sentencje, opinie, powiedzenia

 Matematyka jest alfabetem, za pomocą którego Bóg opisał wszechświat.

                                                                                                                 Galileusz


   Tyle jest w każdym poznaniu nauki, ile jest w nim matematyki.

                                                                                                   Imanuel Kant


   Matematyka zawiera w sobie nie tylko prawdę, ale i najwyższe piękno - piękno chłodne i surowe, podobne do piękna rzeźby.

                                                        Bertrand Russell


   Bóg jest matematykiem.

                                         Jan Kepler


   Czysta matematyka to poezja logicznego myślenia.

                                                                                 Albert Einstein


   Matematyka jest jak Sąd Najwyższy.Od jej decyzji nie ma odwołania.
                                                                                                               Tobias Dantzig


   Między duchem i materią pośredniczy matematyka.

                                                                                    Hugo Steinhas

Kwadratura koła, ...

   Antyczni mędrcy obok wielu wspaniałych osiągnięć przekazali potomnym trzy problemy, których nie potrafili rozwiązać. Są to zagadnienia znane pod określeniami: kwadratury koła, podwojenia sześcianu i trysekcji kąta.

    1. Kwadratura koła

    Problem kwadratury koła sprowadza się do rozwiązania zadania: Dane jest koło o promieniu r. Zbudować kwadrat o boku a, którego pole jest równe polu danego koła  $a^2=\pi{r^2}$.Należy kreśląc proste lub okręgi zbudować odcinek $a=r\sqrt{\pi}$.

    Zagadnieniem tym zajmował się już w drugim tysiącleciu p.n.e. pisarz faraona Amenemhata III. Twierdził, że kwadrat o boku równym  $\frac{8}{9}$ średnicy koła ma pole równe polu tego koła.Czyli, że                        
$(\frac{16}{9}r)^2=\pi r^2$, stąd $\pi=\frac{256}{81}$ = 3,160... .Lecz $\pi$ = 3,14159... . Zatem błąd jest już na drugim miejscu po przecinku.
    Nie potrafili uporać się z tym problemem także greccy filozofowie i matematycy - wśród nich Archimedes (287 - 212 r. p.n.e.). Archimedes wpisał w koło i opisał na nim sześciokąt foremny i dziewięciokrotnie podwajał liczbę jego boków. Następnie zamienił ten wielokąt na kwadrat. Otrzymana w ten sposób wartość dla $\pi$ była równa $3\frac{1}{7}$ albo $3\frac{10}{71}$. To jedno z najlepszych przybliżeń liczby $\pi$.
    W późniejszych wiekach tym zagadnieniem zajmowali się miedzy innymi Fibonacci (XIIIw.), Viete (XVIw.), Leibniz (XVIIw.), Euler (XVIIIw.). Wśród nich najprostrzą "kwadraturę" podał polski matematyk A. Kochański (1631 - 1700).

    Dopiero w 1882 r. Lindemann dowiódł, że liczba $\pi$ jest przestępna. Zapadło ostateczne rozstrzygnięcie. Kreśląc proste i okręgi nie da się zbudować odcinka długości $\pi$.

    2.Podwojenie sześcianu (zadanie delijskie)

  Według starożytnej helleńskiej legendy na wyspie Delos panowała dżuma - "czarna śmierć".Przerażeni mieszkańcy wyspy udali się do świątyni boga Apolla błagać o ratunek. Apollo obiecał pomoc ale zażądał od mieszkańców wyspy podwojenia ofiarnego ołtarza w świątyni w Delos nie zmieniając jego kształtu. Ołtarz miał kształt sześcianu.
    Niech a będzie długością krawędzi sześcianu, natomiast x długością krawędzi sześcianu podwojonego.
Ma być $x^3=2a^3$, stąd $x=a\sqrt[3]{2}$.

Jeśli przyjmiemy a = 1 problem sprowadzi się do zbudowania odcinka długości $\sqrt[3]{2}$. Jest to liczba algebraiczna stopnia 3.Według teorii konstrukcja tej liczby przy użyciu "cyrkla i linijki"  nie jest możliwa.

   3.Trysekcja kąta

   Trysekcja kąta to problem podziału kąta na trzy równe części przy użyciu cyrkla i linijki. W przypadku ogólnym taka konstrukcja jest niewykonalna. Udowodnił to w 1837 r. P. Wantzel. Niektóre kąty np. $90^0$ łatwo podzielić na trzy równe katy.Jeżeli użyjemy innych przyrządów, np. linijki z dwoma zaznaczonymi punktami, to podział kąta ostrego na trzy równe części będzie możliwy.
   Weźmy cyrkiel i linijkę z zaznaczonymi dwoma punktami X i Y.Zakreślmy okrąg o środku O i promieniu r = |XY|, gdzie O jest wierzchołkiem kąta $\alpha$ = $\angle$AOB, A i B to punkty wspólne okręgu i ramion kąta $\alpha$. Nakreślmy prostą OA i prostą l przechodzącą przez punkt B tak, aby punkt X należał do prostej OA i punkt Y należał do okręgu. Szukanym katem jest $\angle$AXB.

    

Liczby algebraiczne i przestępne

   Liczbą algebraiczną nazywamy liczbę, która jest pierwiastkiem niezerowego wielomianu o współczynnikach całkowitych.
   Liczbę, która nie jest liczbą algebraiczną nazywamy liczbą przestępną.
   Interesującą historię i duże znaczenie w matematyce mają  trzy liczby: oznaczone greckimi literami $\pi$, $\phi$ oraz literą e.
 

   1. Liczba $\pi$ (ludolfina).

Liczba ta  zawdzięcza swoją nazwę hol. matematykowi Ludolfowi van Ceulen (1540 - 1610), który obliczył jej przybliżoną wartość z dokładnością 35 cyfr po przecinku.
   Liczba $\pi$ jest to stała matematyczna wyrażająca stosunek długości okręgu do jego średnicy.
   Symbol $\pi$ wprowadził ang. matematyk W. Jones w 1706 r. a spopularyzował go szwajc. matematyk L. Euler. Liczba $\pi$ jest niewymierna. Niem. matematyk F. Lindemann wykazał w 1882 r., że liczba $\pi$ jest przestępna. Tym samym udowodnił nierozwiązalność słynnego w starożytności zagadnienia kwadratury koła.


    2. Liczba $\phi$ (złota liczba).

                 A_______________C__________B

   Punkt C dzieli odcinek AB w stosunku złotym, jeżeli  |AC| : |CB| = |AB| : |AC|.
Złoty podział (łac. sectio aurea) jest nazywany też podziałem harmonicznym, złotą proporcją, boską proporcją (łac. divina proportio).
Niech |AC| = a, |CB| = b wówczas $\phi = \frac{a}{b} = \frac{a+b}{a}$ stąd $\phi = \frac{\phi + 1}{\phi}$(*) czyli $\phi^2 - \phi - 1 = 0   i   \phi = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,61803398...$.
Z równości (*) wynikają zależności:
   $\frac{1}{\phi} = \phi - 1 \approx 0,61803398...  oraz   \phi^2 = \phi + 1 \approx 2,61803398...$.
Starożytni Grecy uważali złoty podział za idealną proporcję i stosowali go w architekturze i sztuce. Stosowali go architekci przy budowie świątyni Parthenon na Akropolu czy genialny rzeźbiarz starożytności Fidiasz w swoich dziełach. Godłem Pitagorejczyków była pięcioramienna gwiazda. W pięciokącie foremnym przekątne dzielą się w złotym stosunku.

   
 Zadania

   Oblicz: 1.  $\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}$  oraz   2.  $\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+...}}}$ 
   Rozwiązanie zad. 1.

Niech $\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}$ = x, gdzie x > 0. Po podstawieniu i podniesieniu obu stron do kwadratu otrzymamy $x^2$ - x - 1 = 0. Stąd x = $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ = $\phi$. Podobnie można rozwiązać zadanie drugie.


   3.Liczba e (l. Nepera, l. Eulera

  $$e =\lim_{n\to\infty}(1 + \frac{1}{n})^n$$ lub $$e = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!}$$

Przybliżoną wartość l. e obliczył w 1728 r. szwajc. matematyk D. Bernoulli. e = 2,718281828.... Liczba e jest przestępna. Wykazał to w 1873 r. matematyk franc. Ch. Hermite. L. e ma duże zastosowanie w matematyce: jest podstawą logarytmów naturalnych $lnx=lg_ex$, jest podstawą funkcji wykładniczej $$e^x=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{x}{n})^n=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}$$

 

         

Średnie w matematyce

   Średnia S charakteryzująca liczby ${a_1,a_2,...,a_n}$ jest zawarta między najmniejszą a największą z danych liczb czyli
min{${a_1,a_2,...,a_n}$} $\leq$ S $\leq$ max{${a_1,a_2,...,a_n}$}. Najczęściej stosuje się średnią arytmetyczną, średnią geometryczną (proporcjonalną), i średnią harmoniczną.

   1. Średnia arytmetyczna

$$S_a =\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$$.

   2. Średnia geometryczna liczb dodatnich

$$S_g = \sqrt[n]{a_1a_2  ...  a_n}$$.

   3. Średnia harmoniczna liczb dodatnich

$$S_h = \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}$$.

Średnie spełniają warunki:

$$S_h \leq S_g \leq S_a$$.

   W przypadku dwóch liczb np. a i b średnie $S_a = \frac{a+b}{2}$, $S_g = \sqrt{ab}$, $S_h =\frac{2ab}{a+b}$  mają prostą interpretację geometryczną:
   - w trapezie odcinek łączący środki jego ramion jest średnią arytmetyczną jego podstaw,
   - odcinek równoległy do podstaw przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych trapezu jest średnią harmoniczną jego podstaw,

 

  - w trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego jest średnią geometryczną odcinków na jakie dzieli przeciwprostokątną.

   $$e=\frac{a+b}{2}, \qquad  f=\frac{2ab}{a+b}, \qquad  h=\sqrt{pq}$$.

Zadanie

Kierowca przebył drogę z A do B z przeciętną prędkością $v_1$ = 75km/h, a z powrotem z B do A z prędkością $v_2$ = 25km/h. Oblicz średnią prędkość jazdy kierowcy na trasie A - B - A.
Wydaje się, że średnią prędkością będzie średnia arytmetyczna prędkości $v = \frac{v_1+v_2}{2}$ = 50km/h. Tak jednak nie jest. Zróbmy dokładne obliczenia :
Niech odległość z A do B wynosi s km. Wówczas $t_1$ = s/$v_1$ i $t_2$ = s/$v_2$. Są to czasy jazdy kierowcy z A do B oraz z B do A. Łączny czas jazdy to t = $t_1+t_2$ = s/$v_1$+s/$v_2$ = s($v_1+v_2$)/$v_1v_2$.
Stąd v = 2s/t = $\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$. Po podstawieniu danych otrzymujemy v = 37,5km/h.
Jak widać średnia prędkość jest średnią harmoniczną danych prędkości.
   Ten sposób rozumowania można uogólnić.

Trochę o liczbach

     Powiedzenie "liczby całkowite stworzył dobry Bóg pozostałe są dziełem ludzi"podobno pochodzi od niemieckiego matematyka L. Kroneckera (1823 - 1891). Jednym z tych ludzi był grecki filozof Pitagoras.  
     Dzięki odkryciu twierdzenia o kwadracie przeciwprostokątnej  trójkąta prostokątnego, które obecnie znamy jako twierdzenie Pitagorasa, wykazał  istnienie dotychczas nie znanych liczb.
     Pojęcie liczby u Greków było utożsamiane z liczbą całkowitą dodatnią lub ułamkiem postaci $\frac{p}{q}$, gdzie p,q są liczbami całkowitymi dodatnimi.
     Powstał problem: "każdej liczbie odpowiada odcinek, dla którego ta liczba jest jego długością, lecz nie dla każdego odcinka istnieje liczba która jest jego długością".

Takim odcinkiem jest np. przekątna kwadratu o boku 1. Niech d będzie długością przekątnej tego kwadratu. Wówczas
     $d^2$ = $1^2$ + $1^2$ czyli $d^2$ = 2, ponieważ 1 < d < 2 bo $1^2$ = 1 i $2^2$ = 4 zatem d nie jest liczbą całkowitą. Znajdywano coraz lepsze przybliżenia liczby d: $\frac{4}{3}$ < d < $\frac{17}{12}$ bo

     $\frac{16}{9}$ < $d^2$ < $\frac{289}{144}$ i.t.d. .

Mimo wysiłków nie znaleziono ułamka, którego kwadrat równałby się liczbie 2. Zrodziło się pytanie.Czy taki ułamek istnieje?
     Odpowiedź na to pytanie dał następujący tok rozumowania:
     Załóżmy, że istnieje nieskracalny ułamek $\frac{p}{q}$ gdzie p, q to liczby całkowite dodatnie, takie że kwadrat tego ułamka jest równy 2 czyli $p^2$ = 2$q^2$. Z tej równości wynika, że p dzieli się przez 2 i q dzieli się przez 2. Jest to sprzeczne z założeniem, że liczby p i q są względnie pierwsze. Sprzeczność jest skutkiem fałszywego założenia, że istnieje nieskracalny ułamek $\frac{p}{q}$, którego kwadrat jest równy 2.
     Ten rodzaj dowodu nosi nazwę sprowadzania do absurdu (łac. reductio ad absurdum).

     Dowód, że długości przekątnej kwadratu o boku 1 nie da się wyrazić dotychczas znanymi liczbami pojawił się pod koniec V wieku p.n.e., gdyż wiadomo,że nauczyciel Platona Teodor z Cyreny (V - IV w.p.n.e.) wykazał niewymierność liczb: $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$, czy $\sqrt{17}$.

   

Ciekawostki

1. Ile to jest

$\sqrt{12345678987654321}$ ?

Rozważ kwadraty liczb: 11, 111, 1111, ... .

$\sqrt{121}=11$, $\sqrt{12321}=111$, ...

2. Wdowi grosz

Przypowieść biblijna wspomina o wdowie, która swój ostatni grosz przekazała na jałmużnę.
Dla uproszczenia przyjmijmy, że działo się to w 12 roku n.e. Pogdybajmy. Gdyby wówczas
istniały banki, gdyby oprocentowanie wkładów w stosunku rocznym wynosiło 5%, gdyby
wdowa wpłaciła ten grosz do banku na podanych warunkach, gdyby warunki nie zmieniły się
do naszych czasów, to jej pra, pra, pra, ..., pra, potomstwo odziedziczyłoby w roku 2012 sporą
sumkę.
  Spróbójmy ją oszacować. Oznaczmy ją x. Wówczas
$x = 1,05^{2000}$.  Zatem  $lgx = 2000lg1,05\simeq2000\cdot0,0212 = 42,4$.
Z całą pewnością $x > 10^{42}$. Gdyby to były obecne polskie grosze ta sumka by wyglądała
całkiem okazale:  $10^{42}$gr = $10^{40}$zł. Gdyby budżet Polski wynosił 1000 miliardów zł,
to $x = 10^{28}$ budżetów Polski!!!

3. Największa liczba

Jaka jest największa liczba zapisana za pomocą trzech cyfr?
Oczywiście nie 999 bo $99^9$>999. Taką liczbą jest $9^{9^9}$. Do jej napisania potrzeba
ponad trzysta milionów cyfr.Jaką długość zająłby pasek papieru z zapisaną liczbą?

4. Zadanie (podobno Lwa Tołstoja)

Grupa kosiarzy miała skosić dwie łąki z których jedna była dwa razy większa od drugiej. Pierwszego dnia kosiarze przystąpili do pracy na większej łące. Po upływie połowy dnia połowa kosiarzy  pracowała na tej samej łące i do wieczora skończyła pracę. Pozostała część kosiarzy po południu kosiła trawę na mniejszej łące, ale w tym dniu nie skończyła koszenia. W ciągu następnego dnia jeden robotnik skosił resztę łąki. Ilu kosiarzy rozpoczęło pracę?

5.Statek

Statek płynie z Krakowa do Gdańska dwa dni, a z Gdańska do Krakowa trzy dni. Ile dni płynie tratwa z Krakowa do Gdańska?

6. Achilles i żółw

       A_________________B_______C___________

 W punkcie A znajduje się Achilles, w punkcie B żółw. Zanim Achilles dobiegnie do punktu B,żółw aczkolwiek wolniejszy, dobiegnie do do punktu C zatem będzie przed Achillesem. Zanim Achilles dobiegnie do punktu C, żółw nie będzie stał w miejscu. Więc będzie przed Achillesem itd. Paradoks Zenona z Elei.

                                                   
                                                       Zenon z Elei (ok. 490 - 430 p.n.e.)