Liczby algebraiczne i przestępne

   Liczbą algebraiczną nazywamy liczbę, która jest pierwiastkiem niezerowego wielomianu o współczynnikach całkowitych.
   Liczbę, która nie jest liczbą algebraiczną nazywamy liczbą przestępną.
   Interesującą historię i duże znaczenie w matematyce mają  trzy liczby: oznaczone greckimi literami $\pi$, $\phi$ oraz literą e.
 

   1. Liczba $\pi$ (ludolfina).

Liczba ta  zawdzięcza swoją nazwę hol. matematykowi Ludolfowi van Ceulen (1540 - 1610), który obliczył jej przybliżoną wartość z dokładnością 35 cyfr po przecinku.
   Liczba $\pi$ jest to stała matematyczna wyrażająca stosunek długości okręgu do jego średnicy.
   Symbol $\pi$ wprowadził ang. matematyk W. Jones w 1706 r. a spopularyzował go szwajc. matematyk L. Euler. Liczba $\pi$ jest niewymierna. Niem. matematyk F. Lindemann wykazał w 1882 r., że liczba $\pi$ jest przestępna. Tym samym udowodnił nierozwiązalność słynnego w starożytności zagadnienia kwadratury koła.


    2. Liczba $\phi$ (złota liczba).

                 A_______________C__________B

   Punkt C dzieli odcinek AB w stosunku złotym, jeżeli  |AC| : |CB| = |AB| : |AC|.
Złoty podział (łac. sectio aurea) jest nazywany też podziałem harmonicznym, złotą proporcją, boską proporcją (łac. divina proportio).
Niech |AC| = a, |CB| = b wówczas $\phi = \frac{a}{b} = \frac{a+b}{a}$ stąd $\phi = \frac{\phi + 1}{\phi}$(*) czyli $\phi^2 - \phi - 1 = 0   i   \phi = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,61803398...$.
Z równości (*) wynikają zależności:
   $\frac{1}{\phi} = \phi - 1 \approx 0,61803398...  oraz   \phi^2 = \phi + 1 \approx 2,61803398...$.
Starożytni Grecy uważali złoty podział za idealną proporcję i stosowali go w architekturze i sztuce. Stosowali go architekci przy budowie świątyni Parthenon na Akropolu czy genialny rzeźbiarz starożytności Fidiasz w swoich dziełach. Godłem Pitagorejczyków była pięcioramienna gwiazda. W pięciokącie foremnym przekątne dzielą się w złotym stosunku.

   
 Zadania

   Oblicz: 1.  $\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}$  oraz   2.  $\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+...}}}$ 
   Rozwiązanie zad. 1.

Niech $\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}$ = x, gdzie x > 0. Po podstawieniu i podniesieniu obu stron do kwadratu otrzymamy $x^2$ - x - 1 = 0. Stąd x = $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ = $\phi$. Podobnie można rozwiązać zadanie drugie.


   3.Liczba e (l. Nepera, l. Eulera

  $$e =\lim_{n\to\infty}(1 + \frac{1}{n})^n$$ lub $$e = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!}$$

Przybliżoną wartość l. e obliczył w 1728 r. szwajc. matematyk D. Bernoulli. e = 2,718281828.... Liczba e jest przestępna. Wykazał to w 1873 r. matematyk franc. Ch. Hermite. L. e ma duże zastosowanie w matematyce: jest podstawą logarytmów naturalnych $lnx=lg_ex$, jest podstawą funkcji wykładniczej $$e^x=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{x}{n})^n=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}$$