Średnie w matematyce

   Średnia S charakteryzująca liczby ${a_1,a_2,...,a_n}$ jest zawarta między najmniejszą a największą z danych liczb czyli
min{${a_1,a_2,...,a_n}$} $\leq$ S $\leq$ max{${a_1,a_2,...,a_n}$}. Najczęściej stosuje się średnią arytmetyczną, średnią geometryczną (proporcjonalną), i średnią harmoniczną.

   1. Średnia arytmetyczna

$$S_a =\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$$ .

   2. Średnia geometryczna liczb dodatnich

$$S_g = \sqrt[n]{a_1a_2  ...  a_n}$$ .

   3. Średnia harmoniczna liczb dodatnich

$$S_h = \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}$$ .

Średnie spełniają warunki:

$$S_h \leq S_g \leq S_a$$ .

   W przypadku dwóch liczb np. a i b średnie $S_a = \frac{a+b}{2}$, $S_g = \sqrt{ab}$, $S_h =\frac{2ab}{a+b}$  mają prostą interpretację geometryczną:
   - w trapezie odcinek łączący środki jego ramion jest średnią arytmetyczną jego podstaw,
   - odcinek równoległy do podstaw przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych trapezu jest średnią harmoniczną jego podstaw,

 

  - w trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego jest średnią geometryczną odcinków na jakie dzieli przeciwprostokątną.

   $$e=\frac{a+b}{2}, \qquad  f=\frac{2ab}{a+b}, \qquad  h=\sqrt{pq}$$ .

Zadanie

Kierowca przebył drogę z A do B z przeciętną prędkością $v_1$ = 75km/h, a z powrotem z B do A z prędkością $v_2$ = 25km/h. Oblicz średnią prędkość jazdy kierowcy na trasie A - B - A.
Wydaje się, że średnią prędkością będzie średnia arytmetyczna prędkości $v = \frac{v_1+v_2}{2}$ = 50km/h. Tak jednak nie jest. Zróbmy dokładne obliczenia :
Niech odległość z A do B wynosi s km. Wówczas $t_1$ = s/$v_1$ i $t_2$ = s/$v_2$. Są to czasy jazdy kierowcy z A do B oraz z B do A. Łączny czas jazdy to t = $t_1+t_2$ = s/$v_1$+s/$v_2$ = s($v_1+v_2$)/$v_1v_2$.
Stąd v = 2s/t = $\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$. Po podstawieniu danych otrzymujemy v = 37,5km/h.
Jak widać średnia prędkość jest średnią harmoniczną danych prędkości.
   Ten sposób rozumowania można uogólnić.