Dzięki odkryciu twierdzenia o kwadracie przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego, które obecnie znamy jako twierdzenie Pitagorasa, wykazał istnienie dotychczas nie znanych liczb.
Pojęcie liczby u Greków było utożsamiane z liczbą całkowitą dodatnią lub ułamkiem postaci \frac{p}{q}, gdzie p,q są liczbami całkowitymi dodatnimi.
Powstał problem: "każdej liczbie odpowiada odcinek, dla którego ta liczba jest jego długością, lecz nie dla każdego odcinka istnieje liczba która jest jego długością".
Takim odcinkiem jest np. przekątna kwadratu o boku 1. Niech d będzie długością przekątnej tego kwadratu. Wówczas
d^2 = 1^2 + 1^2 czyli d^2 = 2, ponieważ 1 < d < 2 bo 1^2 = 1 i 2^2 = 4 zatem d nie jest liczbą całkowitą. Znajdywano coraz lepsze przybliżenia liczby d: \frac{4}{3} < d < \frac{17}{12} bo
\frac{16}{9} < d^2 < \frac{289}{144} i.t.d. .
Mimo wysiłków nie znaleziono ułamka, którego kwadrat równałby się liczbie 2. Zrodziło się pytanie.Czy taki ułamek istnieje?Odpowiedź na to pytanie dał następujący tok rozumowania:
Załóżmy, że istnieje nieskracalny ułamek \frac{p}{q} gdzie p, q to liczby całkowite dodatnie, takie że kwadrat tego ułamka jest równy 2 czyli p^2 = 2q^2. Z tej równości wynika, że p dzieli się przez 2 i q dzieli się przez 2. Jest to sprzeczne z założeniem, że liczby p i q są względnie pierwsze. Sprzeczność jest skutkiem fałszywego założenia, że istnieje nieskracalny ułamek \frac{p}{q}, którego kwadrat jest równy 2.
Ten rodzaj dowodu nosi nazwę sprowadzania do absurdu (łac. reductio ad absurdum).
Dowód, że długości przekątnej kwadratu o boku 1 nie da się wyrazić dotychczas znanymi liczbami pojawił się pod koniec V wieku p.n.e., gdyż wiadomo,że nauczyciel Platona Teodor z Cyreny (V - IV w.p.n.e.) wykazał niewymierność liczb: \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}, czy \sqrt{17}.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz