Processing math: 0%

niedziela, 25 marca 2012

Kwadratura koła, ...

   Antyczni mędrcy obok wielu wspaniałych osiągnięć przekazali potomnym trzy problemy, których nie potrafili rozwiązać. Są to zagadnienia znane pod określeniami: kwadratury koła, podwojenia sześcianu i trysekcji kąta.

    1. Kwadratura koła

    Problem kwadratury koła sprowadza się do rozwiązania zadania: Dane jest koło o promieniu r. Zbudować kwadrat o boku a, którego pole jest równe polu danego koła  a^2=\pi{r^2}.Należy kreśląc proste lub okręgi zbudować odcinek a=r\sqrt{\pi}.


    Zagadnieniem tym zajmował się już w drugim tysiącleciu p.n.e. pisarz faraona Amenemhata III. Twierdził, że kwadrat o boku równym  \frac{8}{9} średnicy koła ma pole równe polu tego koła.Czyli, że                        
(\frac{16}{9}r)^2=\pi r^2, stąd \pi=\frac{256}{81} = 3,160... .Lecz \pi = 3,14159... . Zatem błąd jest już na drugim miejscu po przecinku.
    Nie potrafili uporać się z tym problemem także greccy filozofowie i matematycy - wśród nich Archimedes (287 - 212 r. p.n.e.). Archimedes wpisał w koło i opisał na nim sześciokąt foremny i dziewięciokrotnie podwajał liczbę jego boków. Następnie zamienił ten wielokąt na kwadrat. Otrzymana w ten sposób wartość dla \pi była równa 3\frac{1}{7} albo 3\frac{10}{71}. To jedno z najlepszych przybliżeń liczby \pi.
    W późniejszych wiekach tym zagadnieniem zajmowali się miedzy innymi Fibonacci (XIIIw.), Viete (XVIw.), Leibniz (XVIIw.), Euler (XVIIIw.). Wśród nich najprostrzą "kwadraturę" podał polski matematyk A. Kochański (1631 - 1700).


    Dopiero w 1882 r. Lindemann dowiódł, że liczba \pi jest przestępna. Zapadło ostateczne rozstrzygnięcie. Kreśląc proste i okręgi nie da się zbudować odcinka długości \pi.


    2.Podwojenie sześcianu (zadanie delijskie)

  Według starożytnej helleńskiej legendy na wyspie Delos panowała dżuma - "czarna śmierć".Przerażeni mieszkańcy wyspy udali się do świątyni boga Apolla błagać o ratunek. Apollo obiecał pomoc ale zażądał od mieszkańców wyspy podwojenia ofiarnego ołtarza w świątyni w Delos nie zmieniając jego kształtu. Ołtarz miał kształt sześcianu.
    Niech a będzie długością krawędzi sześcianu, natomiast x długością krawędzi sześcianu podwojonego.
Ma być x^3=2a^3, stąd x=a\sqrt[3]{2}.


Jeśli przyjmiemy a = 1 problem sprowadzi się do zbudowania odcinka długości \sqrt[3]{2}. Jest to liczba algebraiczna stopnia 3.Według teorii konstrukcja tej liczby przy użyciu "cyrkla i linijki"  nie jest możliwa.

   3.Trysekcja kąta

   Trysekcja kąta to problem podziału kąta na trzy równe części przy użyciu cyrkla i linijki. W przypadku ogólnym taka konstrukcja jest niewykonalna. Udowodnił to w 1837 r. P. Wantzel. Niektóre kąty np. 90^0 łatwo podzielić na trzy równe katy.Jeżeli użyjemy innych przyrządów, np. linijki z dwoma zaznaczonymi punktami, to podział kąta ostrego na trzy równe części będzie możliwy.
   Weźmy cyrkiel i linijkę z zaznaczonymi dwoma punktami X i Y.Zakreślmy okrąg o środku O i promieniu r = |XY|, gdzie O jest wierzchołkiem kąta \alpha = \angleAOB, A i B to punkty wspólne okręgu i ramion kąta \alpha. Nakreślmy prostą OA i prostą l przechodzącą przez punkt B tak, aby punkt X należał do prostej OA i punkt Y należał do okręgu. Szukanym katem jest \angleAXB.



    

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz