1. Kwadratura koła
Problem kwadratury koła sprowadza się do rozwiązania zadania: Dane jest koło o promieniu r. Zbudować kwadrat o boku a, którego pole jest równe polu danego koła $a^2=\pi{r^2}$.Należy kreśląc proste lub okręgi zbudować odcinek $a=r\sqrt{\pi}$.
Zagadnieniem tym zajmował się już w drugim tysiącleciu p.n.e. pisarz faraona Amenemhata III. Twierdził, że kwadrat o boku równym $\frac{8}{9}$ średnicy koła ma pole równe polu tego koła.Czyli, że
$(\frac{16}{9}r)^2=\pi r^2$, stąd $\pi=\frac{256}{81}$ = 3,160... .Lecz $\pi$ = 3,14159... . Zatem błąd jest już na drugim miejscu po przecinku.
Nie potrafili uporać się z tym problemem także greccy filozofowie i matematycy - wśród nich Archimedes (287 - 212 r. p.n.e.). Archimedes wpisał w koło i opisał na nim sześciokąt foremny i dziewięciokrotnie podwajał liczbę jego boków. Następnie zamienił ten wielokąt na kwadrat. Otrzymana w ten sposób wartość dla $\pi$ była równa $3\frac{1}{7}$ albo $3\frac{10}{71}$. To jedno z najlepszych przybliżeń liczby $\pi$.
W późniejszych wiekach tym zagadnieniem zajmowali się miedzy innymi Fibonacci (XIIIw.), Viete (XVIw.), Leibniz (XVIIw.), Euler (XVIIIw.). Wśród nich najprostrzą "kwadraturę" podał polski matematyk A. Kochański (1631 - 1700).
Dopiero w 1882 r. Lindemann dowiódł, że liczba $\pi$ jest przestępna. Zapadło ostateczne rozstrzygnięcie. Kreśląc proste i okręgi nie da się zbudować odcinka długości $\pi$.
2.Podwojenie sześcianu (zadanie delijskie)
Według starożytnej helleńskiej legendy na wyspie Delos panowała dżuma - "czarna śmierć".Przerażeni mieszkańcy wyspy udali się do świątyni boga Apolla błagać o ratunek. Apollo obiecał pomoc ale zażądał od mieszkańców wyspy podwojenia ofiarnego ołtarza w świątyni w Delos nie zmieniając jego kształtu. Ołtarz miał kształt sześcianu.
Niech a będzie długością krawędzi sześcianu, natomiast x długością krawędzi sześcianu podwojonego.
Ma być $x^3=2a^3$, stąd $x=a\sqrt[3]{2}$.
Jeśli przyjmiemy a = 1 problem sprowadzi się do zbudowania odcinka długości $\sqrt[3]{2}$. Jest to liczba algebraiczna stopnia 3.Według teorii konstrukcja tej liczby przy użyciu "cyrkla i linijki" nie jest możliwa.
3.Trysekcja kąta
Trysekcja kąta to problem podziału kąta na trzy równe części przy użyciu cyrkla i linijki. W przypadku ogólnym taka konstrukcja jest niewykonalna. Udowodnił to w 1837 r. P. Wantzel. Niektóre kąty np. $90^0$ łatwo podzielić na trzy równe katy.Jeżeli użyjemy innych przyrządów, np. linijki z dwoma zaznaczonymi punktami, to podział kąta ostrego na trzy równe części będzie możliwy.
Weźmy cyrkiel i linijkę z zaznaczonymi dwoma punktami X i Y.Zakreślmy okrąg o środku O i promieniu r = |XY|, gdzie O jest wierzchołkiem kąta $\alpha$ = $\angle$AOB, A i B to punkty wspólne okręgu i ramion kąta $\alpha$. Nakreślmy prostą OA i prostą l przechodzącą przez punkt B tak, aby punkt X należał do prostej OA i punkt Y należał do okręgu. Szukanym katem jest $\angle$AXB.
Zagadnieniem tym zajmował się już w drugim tysiącleciu p.n.e. pisarz faraona Amenemhata III. Twierdził, że kwadrat o boku równym $\frac{8}{9}$ średnicy koła ma pole równe polu tego koła.Czyli, że
$(\frac{16}{9}r)^2=\pi r^2$, stąd $\pi=\frac{256}{81}$ = 3,160... .Lecz $\pi$ = 3,14159... . Zatem błąd jest już na drugim miejscu po przecinku.
Nie potrafili uporać się z tym problemem także greccy filozofowie i matematycy - wśród nich Archimedes (287 - 212 r. p.n.e.). Archimedes wpisał w koło i opisał na nim sześciokąt foremny i dziewięciokrotnie podwajał liczbę jego boków. Następnie zamienił ten wielokąt na kwadrat. Otrzymana w ten sposób wartość dla $\pi$ była równa $3\frac{1}{7}$ albo $3\frac{10}{71}$. To jedno z najlepszych przybliżeń liczby $\pi$.
W późniejszych wiekach tym zagadnieniem zajmowali się miedzy innymi Fibonacci (XIIIw.), Viete (XVIw.), Leibniz (XVIIw.), Euler (XVIIIw.). Wśród nich najprostrzą "kwadraturę" podał polski matematyk A. Kochański (1631 - 1700).
Dopiero w 1882 r. Lindemann dowiódł, że liczba $\pi$ jest przestępna. Zapadło ostateczne rozstrzygnięcie. Kreśląc proste i okręgi nie da się zbudować odcinka długości $\pi$.
2.Podwojenie sześcianu (zadanie delijskie)
Według starożytnej helleńskiej legendy na wyspie Delos panowała dżuma - "czarna śmierć".Przerażeni mieszkańcy wyspy udali się do świątyni boga Apolla błagać o ratunek. Apollo obiecał pomoc ale zażądał od mieszkańców wyspy podwojenia ofiarnego ołtarza w świątyni w Delos nie zmieniając jego kształtu. Ołtarz miał kształt sześcianu.
Niech a będzie długością krawędzi sześcianu, natomiast x długością krawędzi sześcianu podwojonego.
Ma być $x^3=2a^3$, stąd $x=a\sqrt[3]{2}$.
Jeśli przyjmiemy a = 1 problem sprowadzi się do zbudowania odcinka długości $\sqrt[3]{2}$. Jest to liczba algebraiczna stopnia 3.Według teorii konstrukcja tej liczby przy użyciu "cyrkla i linijki" nie jest możliwa.
3.Trysekcja kąta
Trysekcja kąta to problem podziału kąta na trzy równe części przy użyciu cyrkla i linijki. W przypadku ogólnym taka konstrukcja jest niewykonalna. Udowodnił to w 1837 r. P. Wantzel. Niektóre kąty np. $90^0$ łatwo podzielić na trzy równe katy.Jeżeli użyjemy innych przyrządów, np. linijki z dwoma zaznaczonymi punktami, to podział kąta ostrego na trzy równe części będzie możliwy.
Weźmy cyrkiel i linijkę z zaznaczonymi dwoma punktami X i Y.Zakreślmy okrąg o środku O i promieniu r = |XY|, gdzie O jest wierzchołkiem kąta $\alpha$ = $\angle$AOB, A i B to punkty wspólne okręgu i ramion kąta $\alpha$. Nakreślmy prostą OA i prostą l przechodzącą przez punkt B tak, aby punkt X należał do prostej OA i punkt Y należał do okręgu. Szukanym katem jest $\angle$AXB.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz