Zadania maturalne 2011 poz. podst.

Zadania zamknięte

 Zadanie 1.(1 pkt)

 Wskaż nierówność, którą spełnia liczba $\pi.\ $

$A.\ |x+1|>5\quad  B.\ |x-1|<2\quad  C.\ |x+\frac{2}{3} |\leq4\quad D.\ |x-\frac{1}{3}|\geq3$

Zadanie 2.(1pkt)

Pierwsza rata, która stanowi $9%\ $ceny roweru, jest równa $189\ $zł. Rower kosztuje

$A.\ 1701\ $zł.         $B.\ 2100\ $zł.         $C.\ 1890\ $zł.         $D.\ 2091\ $zł.

Zadanie 3.(1pkt)

Wyrażenie  $5a^2-10ab+15a\ $ jest równe iloczynowi

$A.\ 5a^2(1-10b+3)\quad B.\ 5a(a-2b+3)\quad C.\ 5a(a-10b+15)\quad D.\ 5(a-2b+3)$

Zadanie 4.(1pkt)

Układ równań  $\left\{\begin{array}{cc}4x+2y=10 \\ 6x +ay=15\end{array}\right.\ $ ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli

$A.\ a=-1\qquad B.\ a=0\qquad C.\ a=2\qquad D.\ a=3\ $

Zadanie 5.(1pkt)

Rozwiązanie równania $x(x+3)-49=x(x-4)\ $ należy do przedziału

$A.\ (-\infty,3)\qquad B.\ (10,\infty)\qquad C.\ (-5,-1)\qquad D.\ (2,\infty)$

Zadanie 6.(1pkt)

Najmniejszą liczbą całkowitą należącą do zbioru rozwiązań nierówności $\frac{3}{8}+\frac{x}{6}<\frac{5x}{12}\ $ jest

$A.\ 1\qquad B.\ 2 \qquad C.\ -1 \qquad D.\ -2\qquad$

Zadanie 7.(1pkt)

Wskaż, który zbiór przedstawiony na osi liczbowej jest zbiorem liczb spełniających jednocześnie następujące nierówności: $3(x-1)(x-5) \leq0 \ $ i $x>1.$

Zadanie 8.(1pkt)

Wyrażenie $\log_4(2x-1)\ $jest określone dla wszystkich liczb $x\ $ spełniających warunek

$ A.\ x \leq \frac{1}{2}\qquad B.\ x>\frac{1}{2} \qquad C.\ x \leq \frac{1}{2}\qquad D.\ x>0$

Zadanie 9.(1pkt)

Dane są funkcje liniowe $f(x)=x-2\ $ oraz $g(x)=x+4\ $ określone dla wszystkich liczb rzeczywistych $x.$ Wskaż, który z poniższych wykresów jest wykresem funkcji $h(x)=f(x)\cdot g(x).$

Zadanie 10.(1pkt)

Funkcja liniowa określona jest wzorem $f(x)=-\sqrt{2}x+4.$ Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba

$A.\ -2\sqrt{2} \qquad B.\ \frac{\sqrt{2}}{2} \qquad C.\ -\frac{\sqrt{2}}{2} \qquad D.\ 2\sqrt{2}$

Zadanie 11.(1pkt)

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)\ $, w którym $a_3=1\ $ i $a_4=\frac{2}{3}.$ Wtedy

$A.\ a_1=\frac{2}{3}\qquad B.\ a_1=\frac{4}{9}\qquad C,\ a_1=\frac{3}{2}\qquad D.\ a_1=\frac{9}{4}$

Zadanie 12.(1pkt)

Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny $9a_n)\ $ o wyrazach dodatnich. Wtedy

$A.\ a_4+a_7=a_{10}\qquad B.\ a_4+a_6=a_3+a_8\qquad C.\ a_2+a_9=a_3+a_8\qquad D.\ a_5+a_7=2a_8$

Zadanie 13.(1pkt)

Kąt $\alpha\ $ jest ostry i $cos\alpha=\frac{5}{13}.$ Wtedy

$A.\ sin\alpha=\frac{12}{13}\ $ oraz $tg\alpha=\frac{12}{5}\qquad B.\ sin\alpha=\frac{12}{13}\ $ oraz $tg\alpha=\frac{5}{12}\ $  $ \qquad C.\  sin\alpha=\frac{12}{5}\ $ oraz $tg\alpha=\frac{12}{13}\qquad D.\ sin\alpha=\frac{5}{12}\ $ oraz $tg\alpha=\frac{12}{13}$

Zadanie 14.(1pkt)

Wartość wyrażenia $$\frac{\sin^2{38^o}+\cos^2{38^o}-1}{\sin^2{52^o}+\cos^2{52^o}+1}\ $$ jest rówwna

$A.\ \frac{1}{2} \qquad B.\ 0 \qquad C.\ -\frac{1}{2} \qquad D.\ 1 $

Zadanie 15.(1pkt)

W prostopadłościanie $ABCDEFGH\ $ mamy: $ |AB|=5,\ |AD|=4,\ |AE|=3.\ $ Który z odcinków $AB,\ BG,\ GE,\ EB\ $ jest najdłuższy?

$A.\ AB \qquad B.\ BG \qquad C.\ GE \qquad D.\ EB $

Zadanie 16.(1pkt)

Punkt $O\ $ jest środkiem okręgu. Kąt wpisany $\alpha\ $ ma miarę

$A.\ 80^o\qquad B.\ 100^o \qquad C.\ 110^o \qquad D.\ 120^o $

Zadanie 17.(1pkt)

Wysokość rombu o boku długości $6\ $ i kącie ostrym $60^o\ $ jest równa

$A.\ 3\sqrt3 \qquad B.\ 3 \qquad C.\ 6\sqrt3 \qquad D\ 6 $

Zadanie 18. (1 pkt)

Prosta  k ma równanie  y = 2x − 3 . Wskaż równanie prostej  l równoległej do prostej
 k i  przechodzącej przez punkt D o współrzędnych (−2,1) .

A.  y = − 2x +  3        B.  y =  2x + 1       C.  y = 2 x + 5       D.  y = −x  + 1

Zadanie 19. (1 pkt)

Styczną do okręgu $ (x −1)^2 + y^ 2  −  4 = 0$  jest prosta o równaniu

A. x =1     B. x = 3     C. y = 0     D.  y = 4

Zadanie 20. (1 pkt)

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 54. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

A. $\sqrt6\ $       B. 3      C. 9      D.  $3\sqrt3$

Zadanie 21. (1 pkt)

Objętość stożka o wysokości 8 i średnicy podstawy 12 jest równa

A. 124π      B.  96π      C. 64π      D.  32π

Zadanie 22. (1 pkt)

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania
sumy oczek równej trzy wynosi

$A.\  \frac{1}{6} \qquad B.\ \frac{1}{9} \qquad C.\  \frac{1}{12} \qquad D.\  \frac{1}{18} $

Zadanie 23. (1 pkt)

 Uczniowie pewnej klasy zostali poproszeni o odpowiedź na pytanie: „Ile osób liczy twoja rodzina?”



 Wyniki przedstawiono w tabeli:

Średnia liczba osób w rodzinie dla uczniów tej klasy jest równa 4. Wtedy liczba x jest równa

A. 3       B. 4       C.  5         D.  7

ZADANIA OTWARTE

Zadanie 24. (2 pkt)

 Rozwiąż nierówność   $3x^2-10x+3\leq0.$


Zadanie 25. (2 pkt) 
Uzasadnij, że jeżeli $a+b=1\ $ i $a^2+b^2=7\ $,to $a^4+b^4=31.$ 

Zadanie 26. (2 pkt)

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f. 
Odczytaj z wykresu i zapisz: 

a) zbiór wartości funkcji f, 
b) przedział maksymalnej długości, w którym funkcja  f  jest malejąca. 

Zadanie 27. (2 pkt)

Liczby   x,  y, 19  w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym  x+ y  =  8.
Oblicz  x i y.

Zadanie 28. (2 pkt)

Kąt α jest ostry i $$\frac{sin\alpha}{cos\alpha}+\frac{cos\alpha}{sin\alpha}=2.$$
Oblicz wartość wyrażenia $sin\alpha \cdot cos\alpha.$

Zadanie 29. (2 pkt)

Dany jest czworokąt  ABCD, w którym  AB||CD . Na boku  BC  wybrano taki punkt  E,
że  |EC| = |CD| i  |EB| = |BA| . Wykaż, że kąt AED jest prosty.

Zadanie 30. (2 pkt)

Ze zbioru liczb{1,2,3,...,7 }  losujemy kolejno dwa razy po  jednej liczbie ze zwracaniem.
Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest podzielna przez 3.

Zadanie 31. (4 pkt)

Okrąg o środku w punkcie  S = (3,7) jest styczny do prostej o równaniu  y= 2x −3. Oblicz
współrzędne punktu styczności.

Zadanie 32. (5 pkt)

Pewien turysta pokonał trasę 112 km, przechodząc każdego dnia tę samą liczbę kilometrów.
Gdyby mógł przeznaczyć na tę  wędrówkę o 3 dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby
przechodzić o 12 km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta.

Zadanie 33. (4 pkt)

Punkty  K, L  i  M  są środkami krawędzi  BC, GH i  AE sześcianu  ABCDEFGH o krawędzi
długości 1 (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta KLM.

 Odpowiedzi:

 1 | 2 | 3  | 4 | 5  | 6  | 7  | 8 |  9 |10 | 11| 12| 13|14| 15| 16|17 |18| 19|20 |21|22 |23
C | B | A | D | D | B | C | B | A | D | D  | C | A | B | C | B | A | C | B | D | B | D | D
24.    $<\frac{1}{3},3>$
25.    Dowód
26.    <-2,3>,  <-2,2>
27.    x = -1, y = 9
28.    0,5
29.    Dowód
30.    $\frac{16}{49}$
31.    $(\frac{23}{5}, \frac{31}{5})$
32.    28 km
33.    $\frac{3\sqrt{3}}{8}.$