Zadania przygotowane przez OKE w Poznaniu (styczeń 2012)
Zadanie 1.(4pkt)
Jednym z pierwiastków wielomianu W(x)=x^3+mx^2+nx+2\ jest liczba 1. Reszta z dzielenia wielomianu W(x)\ przez dwumian x+1\ jest równa 4. Oblicz współczynniki m\ i n\ .
Zadanie 2.(4pkt)
Rozwiąż równanie cos^2x+sinxcos^2x=\frac{1+sinx}{4}\ w przedziale <0,2\pi>.
Zadanie 3.(5pkt)
Uzasadnij, że 61^{16}<18^{24}.
Zadanie 4.(5pkt)
Kulę o promieniu R przecięto dwiema równoległymi płaszczyznami w sposób przedstawwiony na rysunku. Przekroje mają promienie r_1\ oraz r_2\ i są odległe od siebie o a. Liczby r_1,a,r_2\ w podanej kolejności tworzą trzywyrazowy ciąg arytmetyczny, którego różnica jest równa 1. Suma wyrazów tego ciągu jest rowna 18. Znajdź długość promienia kuli.
Zadanie 5(5pkt)
Rozwiąż nierówność |2x-4|+4x>|2x^2-4|.\
Zadanie 6.(5pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m\ , dla których jedno rozwiązanie równania (m+1)x^2+2mx+1=0jest sinusem, a drugie cosinusem tego samego kąta?
Zadanie 7.(4pkt)
W układzie współrzędnych przedstawiony jest wykres funkcji y=f(x), gdzie f(x)=log_a(x-k)+m. Wyznacz wartości a,k,m.
Zadanie 8.(4pkt)
Pole trójkąta ABC\ o danych wierzchołkach A=(1,-2)\ oraz B=(2,3)\ jest równe 4,5. Wyznacz współrzędne trzeciego wierzchołka wiedząc, że należy on do prostej o równaniu x+y -2= 0.
Zadanie 9.(6pkt)
Na bokach AC i BC trójkąta ABC obrano punkty P i Q takie, że |AP|:|PC|=2:1 oraz |BQ|:|QC|=2:1. Odcinki AQ i BP przecinają się w punkcie R. Wykaż, że pole czworokąta CPRQ jest równe polu trójkąta ARP.
Zadanie 10.(4pkt)
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątne ścian bocznych, wychodzące z tego samego wierzchołka, mają długość d i tworzą kąt o mierze \alpha. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Zadanie 11.
Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch jedynek lub trzech szóstek w doświadczeniu losowym, polegającym na pięciokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry.
Odpowiedzi:
1. m=o,\ n=-34
2. {\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{3}}
3. Dowód
4. R=5\sqrt{2}
5. (\frac{1-\sqrt{17}}{2},-1)\cup(0,3)
6. m=\frac{3+\sqrt{33}}{3}
7. a=3,\ k=-2,\ m=-1
8. C=(0,2) lub C=(3,-1)
9. Dowód
10.d^3(1-cos\alpha)\sqrt{cos\alpha}
11.\frac{745}{3888}.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz