Zadania maturalne 2011 poz. rozsz.

Zadanie 1. (4 pkt)

Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej  $k$ liczba  $k^6 − 2k^4 + k^2$ jest podzielna przez $36.$

Zadanie 2. (4 pkt)

Uzasadnij, że jeżeli $a\neq b,\ a\neq c,\ b\neq c\ $ i $a+b=2c$, to $\frac{a}{a-b}+\frac{b}{b-c}=2.$

Zadanie 3. (6 pkt)

Wyznacz   wszystkie   wartości   parametru   $m$ ,   dla   których   równanie   $x^2-4mx-m^3+6m^2+m-2=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1,\ x_2$ takie, że $(x_1-x_2)^2<8(m+1).$

Zadanie 4. (4 pkt)

Rozwiąż równanie  $2sin ^ 2x-2sin ^2xcosx=1- cos x$  w przedziale  $<0,\ 2\pi>.$

Zadanie 5. (4 pkt)

O ciągu $( x_n)$ dla  $n ≥1$ wiadomo, że:
a) ciąg $(a_n )$  określony wzorem $a_n=3^{x_n}$ dla  $n ≥1$  jest geometryczny o ilorazie  $q = 27.$
b) $x_1+x_2+\ ...\ +x_{10}=145.$
Oblicz $x_1.$

 Zadanie 6. (4 pkt)

Podstawa $AB$ trójkąta równoramiennego  $ABC$ ma długość $8$ oraz  $|\angle BAC| = 30 °.$ Oblicz długość środkowej $AD$ tego trójkąta.

Zadanie 7. (4 pkt)

Oblicz miarę  kąta między stycznymi do okręgu  $x^2+y^2+2x-2y-3=0$ poprowadzonymi przez punkt $A = (2,0).$ 

Zadanie 8. (4 pkt)

Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, w których suma długości
wszystkich krawędzi jest równa 24, jest taki, który ma największe pole powierzchni bocznej.
Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.



. Zadanie 9. (4 pkt)
Oblicz, ile jest liczb ośmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, natomiast
występują dwie dwójki i występują trzy trójki.

Zadanie 10. (3 pkt)

Dany jest czworokąt wypukły  $ABCD$  niebędący równoległobokiem. Punkty  $M,  N$  są
odpowiednio środkami boków $AB$ i $CD.$  Punkty $P, Q$  są odpowiednio środkami przekątnych
$AC$ i $BD.$  Uzasadnij, że $MQ\parallel PN.$

Zadanie 11. (6 pkt)

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny  $ABCDS$ o podstawie  $ABCD.$ W trójkącie
równoramiennym  $ASC$ stosunek długości podstawy do długości ramienia jest równy
$|AC|: |AS| = 6 : 5.$ Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

 Zadanie 12. (3 pkt)

$A, B$  są zdarzeniami losowymi zawartymi w  $Ω .$ Wykaż, że jeżeli  $P(A) = 0,9$ i  $P(B) = 0,7 ,$ to  $P(A∩B')  ≤  0,3$  ($B'$ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia$B$).

 Odpowiedzi:

 1.  Dowód,
 2.  Dowód,
 3.  $m\in(0,1)\cup(2,3)$,
 4.  $x\in\{0,\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4},2\pi\}$,
 5.  $x_1=1$,
 6.  $|AD|=\frac{4\sqrt{21}}{3}$,
 7.  $|\angle{BAC}|=90^0$,
 8.  $a=1$,
 9.  $192080$,
10. Dowód,
11.$sin\alpha=\frac{4\sqrt{82}}{41}$,
12. Dowód.