Zadania maturalne 2010 poz. rozsz.

Poziom rozszerzony

Zadanie 1. (4 pkt)

Rozwiąż nierówność $|2x+4|+|x-1|\leq6.$

Zadanie 2. (4 pkt)

Wyznacz wszystkie rozwiązania równania
 $2\cos^2{x}-5\sin{x}-4=0$ dla $\ x\in<o,2\pi>.$

Zadanie 3. (4 pkt)

Bok kwadratu $ABCD$ ma długość $1.$ Na bokach $BC$ i $CD$ wybrano odpowiednio punkty $E$ i $F$
umieszczone tak, by $|CE|=2|DF|.$  Oblicz wartość  $x = | DF|$ , dla której pole trójkąta $AEF$
jest najmniejsze.

Zadanie 4. (4 pkt)

Wyznacz wartości  $a$ i  $b$ współczynników wielomianu   $W (x)=x^3+ax+ bx^2+1$  wiedząc,
że   $W ( 2) =7$  oraz, że reszta z dzielenia $W(x )$  przez $( x − 3)$ jest równa $10.$

Zadanie 5. (5 pkt)

O liczbach  $a,  b,  c$ wiemy,  że ciąg  $(a, b, c )$ jest arytmetyczny i  $a + c  =10$ , zaś ciąg
$( a + 1, b + 4, c + 19)$  jest geometryczny. Wyznacz te liczby.

Zadanie 6. (5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru  $m$, dla których równanie $x^2 + mx +2 =  0$  ma dwaróżne pierwiastki rzeczywiste takie, że suma ich kwadratów jest większa od $2m^2 −13 .$

Zadanie 7. (6 pkt)

Punkt $A = (− 2 ,5)$  jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego  $ABC$, w którym
$|AC |= |BC | .$    Pole tego trójkąta jest równe $15.$ Bok $BC$ jest zawarty w prostej o równaniu
$y= x  +1.$ Oblicz współrzędne wierzchołka $C.$

Zadanie 8. (5 pkt)

Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji  $f (x )=\frac{1}{x^2}.$

Przeprowadzono prostą równoległą do osi $Ox$ , która przecięła wykres tej funkcji w punktach $A$ i $B.$  Niech $C = − (3, 1) .$ Wykaż, że pole trójkąta $ABC$ jest większe lub równe $2.$ 

Zadanie 9. (4 pkt)

Na bokach $BC$ i $CD$ równoległoboku $ABCD$ zbudowano kwadraty $CDEF$ i $BCGH$ (zobacz
rysunek). Udowodnij, że  $AC = FG .$

Zadanie 10. (4 pkt)

Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w trzech rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry suma kwadratów liczb uzyskanych oczek będzie podzielna przez 3.

Zadanie 11. (5 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość $a.$ Ściany boczne są trójkątami ostrokątnymi. Miara kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi jest równa  $2\alpha .$
Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

Odpowiedzi:

1.  $<-3,1>$    2.  $x=\frac{7\pi}{6}\vee\ x=\frac{11\pi}{6}$    3.  $x=\frac{1}{4}$    4.  a = - 5 i b = 9
5.  (26, 5, - 16) lub (2, 5, 8)    6.$m\in(-3,-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2,3)$    7.  C(- 3, - 2) lub C(5, 6)    8.  Dowód    9.  Dowód    10.  $\frac{1}{3}$    11.  $V=\frac{a^3\cos\alpha}{12\sqrt{4(\sin\alpha)^2-1}}.$