Stożek obrotowy - objętość - pole powierzchni

Stożkiem obrotowym nazywamy figurę geometryczną powstałą w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego dokoła prostej zawierającej jedną z przyprostokątnych.
             

                                                                                                                                    
 Oznaczenia:
$h$  -  wysokość stożka
$r$  -  promień podstawy stożka
$l$  -  tworząca stożka
$P$  -  pole podstawy
$B$  -  pole powierzchni bocznej
$S$  -  pole powierzchni całkowitej
$V$  -  objętość

Wzory:
$$P=\pi r^2$$ $$B=\pi rl$$ $$S=\pi r^2+\pi rl=\pi r(r+l)$$ $$V=\frac{1}{3}\pi r^2 h$$   

Zadania

1. Obliczyć objętość i pole powierzchni całkowitej stożka wiedząc, że średnica podstawy ma długość $2$ a kąt rozwarcia stożka ma miarę $\frac{\pi}{3}$.
2. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym o polu $8$. Obliczyć objętość i pole powierzchni całkowitej stożka.
3. Wyznaczyć kąt rozwarcia stożka wiedząc, że pole powierzchni bocznej jest dwa razy większe od pola podstawy tego stożka.
4. Przez punkty dzielące wysokość stożka na trzy równe części poprowadzono płaszczyzny równoległe do podstawy stożka. Wiedząc, że objętość stożka jest równa $V$ obliczyć objętości poszczególnych części.

Rozwiązania:
4. Niech $V_1,\ V_2,\ V_3$  będą objętościami figur $f_1,\ f_2,\ f_3.$  oczywiście $V_1+V_2+V_3=V.$    

   
Ponieważ $f_1\sim(f_1\cup f_2\cup f_3)$  w skali $3$  i $f_1\sim(f_1\cup f_2)$  w skali $2$  więc $\frac{V}{V_1}=3^3\wedge\frac{V_1+V_2}{V_1}=2^3.$  Stąd $V_1=\frac{1}{27}V\wedge V_2=\frac{7}{27}V$. Z równości $\frac{1}{27}V+\frac{7}{27}V+V_3=V\Rightarrow V_3=\frac{19}{27}$. Ostatecznie $$V_1=\frac{1}{27}V$$ $$V_2=\frac{7}{27}$$ $$V_3=\frac{19}{27}.$$