Twierdzenie o dwusiecznej kąta trójkąta

Twierdzenie
Dwusieczna kąta trójkąt dzieli jego bok na odcinki proporcjonalne do pozostałych boków trójkąta.

Założenie:   $CD\ $  jest dwusieczną kąta $\angle{C}$.
Teza:   $\frac{p}{q}=\frac{a}{b}$.
Dowód.  Oznaczenia jak na rysunku. Poprowadźmy prostą ${BE}\parallel{CD}$.
$|\angle{CBE}|=|\angle{BCD}|=\phi \wedge |\angle{CEB}|=|\angle{ACD}|=\phi$, więc trójkąt $BCE$ jest równoramienny i $|EC|=|BC|=a$. Na podstawie twierdzenia Talesa $$\frac{p}{q}=\frac{a}{b}.$$

Zadania

1. Mając dane długości boków  $a,b,c$  trójkąta $ABC$ obliczyć długości odcinków na jakie dwusieczna kąta $\angle{C}$ podzieliła bok $AB$.
2. Obliczyć długość odcinka jaki brzeg trójkąta $ABC$ wyciął z dwusiecznej kąta $\angle{C}$, mając dane długości boków trójkąta $a,b,c$.

Rozwiązania

1. Niech szukane odcinki mają długości $p,q$. Na podstawie tw. o dwusiecznej kąta mamy $\frac{p}{q}=\frac{a}{b} \wedge p+q=c$. Rozwiązując układ równań otrzymamy $$p=\frac{ac}{a+b}\qquad q=\frac{bc}{a+b}.$$
2. Wskazówka.
Zastosować tw. cosinusów w $\Delta ABC$ dla obliczenia $cos\angle{A}$ oraz w  $\Delta ADC$.