Zadanie 1.
Mając dane długości podstaw a \ i b \ trapezu oblicz długość odcinka, którego końcami są środki ramion tego trapezu.
Rozwiązanie.
\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{KD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CL} \\ \overrightarrow{KL}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BL} \\ 2\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+ \overrightarrow{0}\\ \overrightarrow{KL}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}),\\
/\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{DC}\ są równoległe i mają zwroty zgodne/
Wnioski: {KL} \parallel {AB} \ i s=\frac{a+b}{2} .
/średnia arytmetyczna/
Zadanie 2.
Dane są długości podstaw trapezu |AB|=a,\ |CD|=b. \ Przekątne trapezu przecinają się w punkcie O.\ Odcinek KL \ jest równoległy do pdstaw i przechodzi przez punkt O. \ Końce odcinka należą do ramion trapezu.
a) Wykazać, że |KO|=|LO|. \\
b) Obliczyć długość KL .
Rozwiązanie.
\frac{x}{a}=\frac{|OD|}{|OD|+|OB|}=\frac{1}{1+\frac{|OB|}{|OD|}} =\frac{1}{1+\frac{a}{b}}=\frac{b}{a+b}\ \Rightarrow x=\frac{ab}{a+b} .\
Z podobieństwa trójkątów LOC \ i BAC \
\frac{y}{a}=\frac{|OC|}{|OA|+|OC|}=\frac{1}{\frac{|OA|}{|OC|}+1}=\frac{1}{\frac{a}{b}+1}=\frac{b}{a+b} \Rightarrow y=\frac{ab}{a+b} .\
Wnioski:
a) x=y,
b) |KL|=s=x+y s=\frac{2ab}{a+b}.
/średnia harmoniczna/
Zadanie 3.
Przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty o polach P_1,\ P_2,\ S_1,\ S_2.\ Oznaczenia jak na rys. 3.
a) Wykazać, że S_1=S_2.
b) Mając dane P_1,\ P_2\ obliczyć pole trapezu P.
c) Znając stosunek podstaw k=\frac{a}{b}\ i pole trapezu P\ obliczyć P_1,\ P_2,\ S=S_1=S_2.
Rozwiązanie.
Niech |\angle{AOB}|=\alpha.\ Zauważmy, że |\angle{AOD}|=180^0-\alpha\ i sin(180^0-\alpha)=sin \alpha.a) P_{ABD}=P_{ABC} /wspólna podstawa i równe wysokości/
P_1+S_1=P_1+S_2
S_1=S_2.
b) Ponieważ S^2=S_1S_2=(\frac{1}{2}ps\cdot sin\alpha)(\frac{1}{2}qr\cdot sin\alpha)=(\frac{1}{2}pq\cdot sin\alpha)(\frac{1}{2}rs\cdot sin\alpha)=P_1P_2, więc S=\sqrt{P_1P_2}.
P_{ABCD}=P_1+S_1+S_2+P_2=P_1+2\sqrt{P_1P_2}+P_2=(\sqrt{P_1}+\sqrt{P_2})^2.
c) Trójkąty AOB\ i AOD\ mają wspólną wysokość a stosunek ich podstaw jest równy \frac{q}{s}=k\ stąd \frac{P_1}{S}=k\ czyli P_1=k \cdot S.Podobnie z parą trójkątów AOD\ i COD.\ Otrzymujemy S=k\cdot P_2\ i P_2=\frac{1}{k}\cdot S.\
Zatem P=P_1+2S+P_2=k \cdot S+2S+\frac{1}{k}\cdot S=\frac{S\cdot(k^2+2k+1)}{k}=S\cdot\frac{(k+1)^2}{k}. OstatecznieS=\frac{k}{(k+1)^2}\cdot P\
P_1=\frac{k^2}{(k+1)^2}\cdot P\
P_2=\frac{1}{(k+1)^2}\cdot P.
Zadanie 4.
Rys. 4.
Mając dane długości podstaw trapezu obliczyć długość odcinka łączącego środki jego przekątnych. Oznaczenia jak na rys. 4 (a\geq b).
Rozwiązanie.
\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DL}\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BL}
2\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{0}
/Wektory \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}\ są równoległe i mają zwroty przeciwne/
Wniski: KL\parallel AB\ i s=\frac{a-b}{2}.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz