Trapezy - własności - zadania

Trapezem nazywamy czworokąt, który ma parę boków równoległych. Te boki nazywamy podstawami.

Zadanie 1.

Mając dane długości podstaw $ a \ $ i $b \ $ trapezu oblicz długość odcinka, którego końcami są środki ramion tego trapezu.

 Rozwiązanie.

Niech $|AB|=a, \  |CD|=b, \ |KL|=s, \   \wedge\ K, \ L $ są środkami $ AD \ $ i $BC \ .$
$\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{KD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CL} \\
\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BL} \\
2\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+ \overrightarrow{0}\\
\overrightarrow{KL}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}),\\ $    
/$\overrightarrow{AB},\  \overrightarrow{DC}\ $są równoległe i mają zwroty zgodne/
Wnioski:  ${KL} \parallel {AB} \ $ i $$ s=\frac{a+b}{2} .$$  /średnia arytmetyczna/

Zadanie 2.

Dane są długości podstaw trapezu $|AB|=a,\ |CD|=b. \ $ Przekątne trapezu przecinają się w punkcie $O.\ $
Odcinek $KL \ $jest równoległy do pdstaw i przechodzi przez punkt $O. \ $ Końce odcinka należą do ramion trapezu.
 a) Wykazać, że $|KO|=|LO|. \\$
 b) Obliczyć długość $KL .$

Rozwiązanie.

Niech $|KO|=x,\ |LO|=y,\ |KL|=s.\ $ Z podobieństwa trójkątów $KOD \ $ i $ABD \ $ (kk)
$ \frac{x}{a}=\frac{|OD|}{|OD|+|OB|}=\frac{1}{1+\frac{|OB|}{|OD|}} =\frac{1}{1+\frac{a}{b}}=\frac{b}{a+b}\ \Rightarrow x=\frac{ab}{a+b} .\ $
Z podobieństwa trójkątów $LOC \ $ i $BAC \ $
$ \frac{y}{a}=\frac{|OC|}{|OA|+|OC|}=\frac{1}{\frac{|OA|}{|OC|}+1}=\frac{1}{\frac{a}{b}+1}=\frac{b}{a+b} \Rightarrow y=\frac{ab}{a+b} .\ $
Wnioski:
 a) $x=y,$
 b) $|KL|=s=x+y$   $$s=\frac{2ab}{a+b}.$$  /średnia harmoniczna/

Zadanie 3.

Przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty o polach $P_1,\ P_2,\ S_1,\ S_2.\ $ Oznaczenia jak na rys. 3.
 a) Wykazać, że $S_1=S_2.$
 b) Mając dane $P_1,\ P_2\ $obliczyć pole trapezu $P.$
 c) Znając stosunek podstaw $k=\frac{a}{b}\ $i pole trapezu $P\ $obliczyć $P_1,\ P_2,\ S=S_1=S_2.$

Rozwiązanie.

Niech $|\angle{AOB}|=\alpha.\ $Zauważmy, że $|\angle{AOD}|=180^0-\alpha\ $ i  $sin(180^0-\alpha)=sin \alpha.$
 a)  $P_{ABD}=P_{ABC}$    /wspólna podstawa i równe wysokości/
$P_1+S_1=P_1+S_2$
$S_1=S_2.$
 b) Ponieważ $S^2=S_1S_2=(\frac{1}{2}ps\cdot sin\alpha)(\frac{1}{2}qr\cdot sin\alpha)=(\frac{1}{2}pq\cdot sin\alpha)(\frac{1}{2}rs\cdot sin\alpha)=P_1P_2$, więc $S=\sqrt{P_1P_2}.$

$P_{ABCD}=P_1+S_1+S_2+P_2=P_1+2\sqrt{P_1P_2}+P_2=(\sqrt{P_1}+\sqrt{P_2})^2.$

 c) Trójkąty $AOB\ $i $AOD\ $mają wspólną wysokość a stosunek ich podstaw jest równy $\frac{q}{s}=k\ $stąd $\frac{P_1}{S}=k\ $czyli $P_1=k \cdot S.$
Podobnie z parą trójkątów $AOD\ $i $COD.\ $Otrzymujemy $S=k\cdot P_2\ $i $P_2=\frac{1}{k}\cdot S.\ $
Zatem $P=P_1+2S+P_2=k \cdot S+2S+\frac{1}{k}\cdot S=\frac{S\cdot(k^2+2k+1)}{k}=S\cdot\frac{(k+1)^2}{k}. $Ostatecznie$$S=\frac{k}{(k+1)^2}\cdot P\ $$ $$P_1=\frac{k^2}{(k+1)^2}\cdot P\ $$ $$P_2=\frac{1}{(k+1)^2}\cdot P.$$

Zadanie 4.

 
       Rys. 4.


Mając dane długości podstaw trapezu obliczyć długość odcinka łączącego środki jego przekątnych. Oznaczenia jak na rys. 4 $(a\geq b).$

Rozwiązanie.

$\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DL}$
$\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BL}$

$2\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{0}$
/Wektory $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}\ $są równoległe i mają zwroty przeciwne/
Wniski: $KL\parallel AB\ $  i $$s=\frac{a-b}{2}.$$