Pola figur płaskich - wzory - zadania

Oznaczenia

$a_1+a_2+...+a_n=2p \ -\ $ obwód

$r\ $ - promień okręgu wpisanego

$R\ $ - promień okręgu opisanego

$P\ $ - pole

1. Wielokąt opisany na okręgu

  $$P=p\cdot r$$

 2. Trójkąt

 

$$P=\frac{1}{2}ah_a \\$$

$$P=\frac{1}{2}absin\gamma \\$$

$$P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \\$$

$$P=\frac{abc}{4R} \\$$

$$P=2R^2 sin\alpha sin\beta sin\gamma$$

 

3. Równoległobok

 

  $$P=a\cdot h=absin\alpha$$

 

4. Romb

 

 

$$P=ah=\frac{1}{2}de=a^2sin\alpha$$

 

 5. Trapez

 

 

$$P=\frac{a+b}{2}\cdot h$$

 

Zadania

1. Środkowe dzielą trójkąt o polu P na sześć "małych" trójkątów.Obliczyć pola tych trójkątów.

2. Obliczyć stosunek wysokości trójkąta mając dane długości jego boków $a=6,\ b=7,\ c=8.$

3. Trójkąt o bokach długości $a,b,c\ $ podzielono prostą równoległą do boku $c\ $ na części o równych polach. Obliczyć długości boków każdej z tych części.

4. Obliczyć promień okręgu opisanego i pole trójkąta o bokach długości 2,3,4.

5. Dane są trzy różne proste równoległe. Odległość środkowej od skrajnych wynosi $a\ $ i $b.$ Wierzchołki trójkąta równobocznego leżą na tych trzech prostych.Obliczyć jego pole.

                                 
 Rys. do zadania nr 5.

Rozwiązania:

2. $P= \frac{1}{2}ah_a= \frac{1}{2}bh_b= \frac{1}{2}ch_c=3h_a= \frac{7}{2}h_b=4h_c$
$h_a=\frac{1}{3}P,\ h_b=\frac{2}{7}P,\ h_c=\frac{1}{4}P$

$h_a:h_b:h_c=\frac{1}{3}:\frac{2}{7}:\frac{1}{4}=28:24:21.$

3. Posłużmy się rysunkiem

$\Delta_{KLC}\sim \Delta_{ABC} \wedge P_{KLC}=\frac{1}{2}P_{ABC}\Rightarrow \frac{P_{KLC}}{P_{ABC}}=k^2=\frac{1}{2}\Rightarrow k=\frac{\sqrt{2}}{2}$
/stosunek pól figur podobnych równy jest kwadratowi skali ich podobieństwa/.
Części to trójkąt $KLC\ $ o bokach $x=c\frac{\sqrt{2}}{2},\ y=b\frac{\sqrt{2}}{2},\ z=a\frac{\sqrt{2}}{2}\ $ oraz trapez $ABLK\ $ o bokach $c, v=a-a\frac{\sqrt{2}}{2}, x=c\frac{\sqrt{2}}{2}, u=b-b\frac{\sqrt{2}}{2}.$