Zadanie 1. (4 pkt)
Wyznacz cztery kolejne liczby całkowite takie, że największa z nich jest równa sumie kwadratów trzech pozostałych.
Zadanie 2. (4 pkt)
Rozwiąż nierówność $x^4+x^2 \geq2x.$
Zadanie 3. (4 pkt)
Rozwiąż równanie $cos2x+2=3cosx.$
Zadanie 4. (6 pkt)
Oblicz wszystkie wartości parametru $m,\ $ dla których równanie $x^2-(m+2)x+m+4=0\ $ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1,\ x_2\ $ takie, że $x_1^4+x_2^4=4m^3+6m^2-32m+12.$
Zadanie 5. (6 pkt)
Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli do drugiej liczby dodamy 8, to ciąg ten zmieni się w arytmetyczny. Jeżeli zaś do ostatniej liczby nowego ciągu arytmetycznego dodamy 64, to tak otrzymany ciąg będzie znów geometryczny. Znajdź te liczby. Uwzględnij wszystkie możliwości.
Zadanie 6 (6 pkt)
W układzie współrzędnych rozważamy wszystkie punkty $P\ $ postaci: $P=(\frac{1}{2}m+\frac{5}{2},m),\ $ gdzie $m \in<-1,7>.$ Oblicz najmniejszą i największą wartość $|PQ|^2,\ $ gdzie $Q=(\frac{55}{2},0).$
Zadanie 7 (3 pkt)
Udowodnij, że jeżeli $a+b \geq 0,\ $ to prawdziwa jest nierówność $a^3+b^3 \geq a^2b+ab^2.$
Zadanie 8 (4 pkt)
Oblicz, ile jest liczb naturalnych ośmiocyfrowych takich, że iloczyn cyfr w ich zapisie dziesiętnym jest równy 12.
Zadanie 9 (5 pkt)
Dany jest prostokąt $ABCD,\ $ w którym $|AB|=a,\ |BC|=b,\ i \ a>b.\ $ Odcinek $AE\ $ jest wysokością trójkąta $DAB\ $ opuszczoną na jego bok $BD.\ $ Wyraź pole trójkąta $AED\ $ za pomocą $a \ $ i $ b.$
Zadanie 10. (5 pkt)
Podstawą ostrosłupa $ABCS\ $ jest trójkąt równoramienny $ABC.\ $ Krawędź $AS\ $ jest wysokością osrosłupa oraz $|AS|=8 \sqrt{210},\ |BS|=118,\ |CS|=131.\ $ Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Zadanie 11. (3 pkt)
Zdarzenia losowe $A, \ B\ $ są zawarte w $ \Omega \ $ oraz $ P(A \cap B')=0,7 \ $ (A' oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A, B' oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia B). Wykaż, że $P(A' \cap B) \leq 0,3.$
Odpowiedzi:
1. - 1, 0, 1, 2
2. $x \in (- \infty,0> \cup <1, \infty)$
3. $ x=- \frac{\pi}{3}+2k \pi \ \vee x=\frac{\pi}{3}+2k \pi \ \vee x=2k \pi,\ k \in C $
4. $ m = -\sqrt{14}, \vee m= \sqrt{14}$
5. $ (11 \frac{1}{9},-2 \frac{2}{9},\frac{4}{9}) \ lub \ (36,12,4) $
6. min $ = \frac{2045}{4} ,$ max $ = \frac{2605}{4}$
7. Dowód
8. 280
9. $$ P=\frac{ab^3}{2a^2+2b^2} $$
10. $ V=1760 \sqrt{210} $
11.Dowód
Rozwiązania niektórych zadań:
1. Można przyjąć, że szukane liczby to
$ n-1,\ n,\ n+1,\ n+2,\ n \in C\ \\
(n-1)^2+n^2+(n+1)^2=n+2 \\
n^2-2n+1+n^2+n^2+2n+1=n+2 \\
3n^2-n=0 \\
n(3n-1)=0 \\
n=0\ \vee \ n=\frac{1}{3} \not \in C.$
Szukane liczby: $-1,\ 0, 1,\ 2.$
5. Szukane liczby oznaczmy: $x,\ y,\ z.\ $Można przyjąć, że $x=a-r,\ y=a-8,\ z=a+r\ $
wówczas liczby $x,\ y+8,\ z\ $utworzą ciąg arytmetyczny, natomiast ciągi $(a-r,a-8,a+r)\ $oraz $(a-r,a,a+r+64)\ $będą ciągami geometrycznymi. Zatem
$ (a-8)^2=a^2-r^2\ \wedge\ a^2=(a-r)(a+r+64).\ $Stąd $3r^2-64r+256=0,\ $
$(r_1=\frac{16}{3} \wedge a_1=\frac{52}{9}) \vee (r_2=16 \wedge a_2=20).$
Odp. $(\frac{4}{9},\ -\frac{20}{9},\ \frac{100}{9})\ $lub $(4,\ 12,\ 36).$
6. $P=(\frac{1}{2}m+\frac{5}{2}, m)=(x, y) \\
\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{2}m+\frac{5}{2}=x \\ m=y \end{array}\right.\Rightarrow y=2x-5,\ x\in<2,\ 6>. $
Zbiór punktów $P\ $ to odcinek $AB\ $, gdzie $A=(2, -1),\ B=(6,\ 7).$
Ponieważ prosta prostopadła do $AB\ $ przechodząca przez punkt $Q\ $ przecina prostą $k\ $ poza odcinkiem $AB\ $ co wynika z obliczeń: pr.$QQ':y=-\frac{1}{2}(x-\frac{55}{2})$.
$\left\{\begin{array}{cc}- \frac{1}{2}x+\frac{55}{4}=y \\ y=2x-5 \end{array}\right. \Rightarrow x=\frac{15}{2}\notin<2,\ 6>$ więc szukane wielkości to:
max = $|AQ|^2=\frac{2605}{4} \\$
min = $|BQ|^2= \frac{2045}{4}.$
7. $a+b \geq 0 \wedge (a-b)^2 \geq 0 \Rightarrow (a+b)(a-b)^2 \geq 0 \Rightarrow
(a+b)(a^2-2ab+b^2) \geq 0 \Rightarrow \\ a^3-2a^2b+ab^2+a^2b-2ab^2+b^3 \geq 0 \Rightarrow
a^3+b^3 \geq a^2b+ab^2.$
9. $\Delta AED \sim \Delta BAD$ w skali $k= \frac{b}{ \sqrt{a^2+b^2}}$ /stosunek przeciwprostokątnych/
$P_{AED}=k^2 \cdot P_{BAD}=(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})^2 \cdot \frac{1}{2}ab=\frac{ab^3}{2a^2+2b^2}$.
11.$(A \cap B') \cap (A' \cap B)=\emptyset \wedge \ ((A \cap B') \cup (A' \cap B)) \subset A \cup B$,
$ P(A \cap B')+P(A' \cap B) \leq P(A \cup B) \leq 1$,
$ P(A' \cap B) \leq 1-0,7=0,3$.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz