Trójkąty - środkowe, symetralne, dwusieczne - zadania

Nierówność trójkąta

Liczby $a,\ b,\ c\ $ są długościami boków pewnego trójkąta wtedy i tylko wtedy, gdy $$|a-b|<c<a+b.$$

Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta

Prosta $k\ $ tworzy z ramionami $AC\ $ i  $BC\ $ trójkąta kąty o mierze $\alpha\ $ i  $\beta\ $ (kąty naprzemianległe wewnętrzne). Stąd $\alpha+\beta+\gamma=180^0 .$

Środkową trójkąta nazywamy odcinek, którego końcami są: wierzchołek trójkąta i środek przeciwległego
 boku.

Twierdzenie
Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Dzieli on środkowe w stosunku $\frac{1}{2}.\ $
Dowód części twierdzenia.
Niech punkty $K\ $ i $M\ $ będą środkami boków $BC\ $ i $AB\ $ trójkąta $ABC,\ $ a punkt $O\ $ punktem przecięcia tych środkowych.

Poprowadźmy prostą $KN\ $ równoległą do $CM.\ $ Proste te przecinają ramiona $\angle{ABC},\ $ więc odcinki wyznaczone na ramionach kąta są proporcjonalne.  $\frac{|NB|}{|NM|}=\frac{|KB|}{|KC|}=1\ $ zatem $|NB|=|NM|.\ $ Te same proste przecinają również ramiona $\angle{BAK}\ $ zatem  $\frac{|OK|}{|OA|}=\frac{|MN|}{|MA|}=\frac{1}{2}.\ $
Aby wykazać, że punkt $O\ $ jest punktem wspólnym trzech środkowych można posłużyć się rachunkiem wektorów.
Punkt przecięcia środkowych nazywamy środkiem ciężkości trójkąta.

Zadanie

Obliczyć długość środkowej trójkąta prostokątnego poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego mając dane długości przyprostokątnych $a\ $ i $b.\ $

Zadanie

W trójkącie środkowe $AK\ $ i $BL\ $ są prostopadłe. Mając dane długości boków $|BC|=a\ $ i $|AC|=b\ $ obliczyć długość trzeciego boku.

Zadanie

Niech $a\ ,b,\ c\ $ oznczają długości boków trójkąta, a  $s_a,\ s_b,\ s_c\ $ długości środkowych poprowadzonych do tych boków. Wykazać, że $$\frac{3(a+b+c)}{4}<s_a+s_b+s_c<a+b+c.$$

 Dowód.

W oparciu o nierówność trójkąta (rys. 1.) mamy: $2s_c<a+b.\ $ Podobnie wykazujemy, że $2s_b<a+c\ $ i $2s_a<b+c.\ $ Dodając nierówności stronami i dzieląc przez 2 otrzymujemy: $s_a+s_b+s_c<a+b+c.\ $ 

   

 

                                        Rys. 1

 Drugą część nierówności wykażemy w oparciu o rys. 2.

                               
                                   Rys. 2

W trójkątach wyznaczonych przez punkty $A,B,C\ $ i punkt przecięcia środkowych mamy:
$a<\frac{2}{3}s_b+\frac{2}{3}s_c,\ b<\frac{2}{3}s_a+\frac{2}{3}s_c,\ c<\frac{2}{3}s_a+\frac{2}{3}s_b.\ $ Dodając nierówności stronami i mnożąc obie strony przez $\frac{3}{4}\ $ otrzymamy tezę postawioną w zadaniu.

Twierdzenie

Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Jest on środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

 Dowód.
Niech $k,\ l\ m\ $ będą symetralnymi boków trójkąta jak na rysunku. Niech $k\cap l=\{O\}\Rightarrow|OB|=|OC| \wedge|OA|=|OC| \Rightarrow|OA|=|OB| \Rightarrow O\in l.\ $
Tym samym punkty $A,\ B,\ C\ $ są równo odległe od punktu $O\ $ więc leżą na okręgu o środku $O.$

Twierdzenie

Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Jest on środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt




Wysokością trójkąta nazywamy odcinek, którego jednym końcem jest wierzchołek trójkąta a drugim prostokątny rzut tego wierzchołka na prostą zawierającą bok przeciwległy.

Twierdzenie

Proste zawierające wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie. (punkt ten nazywamy ortocentrum trójkąta)