Zadanie 1.
Oblicz pole równoległoboku mając dane długości jego przekątnych oraz kąt między nimi zawarty.
Rozwiązanie.
Niech w równoległoboku ABCD\ przekątne mają długości d\ oraz e\ i kąt między nimi |\angle{BOC}|=\alpha.\ Poprowadźmy proste równoległe do przekątnych równoległoboku przechodzące przez jego wierzchołki. Otrzymamy równoległobok KLMN\ o bokach długości d,\ e i kącie \angle{KNM}|=\alpha i polu dwukrotnie większym od pola równoległoboku (KLMN składa się z ośmiu przystających trójkątów).
P_{ABCD}=\frac{1}{2}P_{KLMN}=\frac{1}{2}de\cdot\sin\alpha.
Zadanie 2.
Oblicz pole równoległoboku mając dane długości jego przekątnych oraz kąt ostry równoległoboku.
Rozwiązanie.
Niech przekątne mają długości d\ oraz e\ a kąt ostry |\angle{BAD}|=\alpha.
Z twierdzenia cosinusów e^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha\ oraz d^2=a^2+b^2+2ab\cos\alpha\ Stąd
d^2-e^2=4ab\cos\alpha=\frac{4ab\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha}\ i ab\sin\alpha=\frac{e^2-d^2}{4ctg\alpha}.\ Ostatecznie P=\frac{1}{4}(d^2-e^2) tg\alpha.
Zadanie 3.
Dwusieczne kątów równoległoboku przecinają się w czterech punktach. Wykaż, że są to wierzchołki prostokąta.
Rozwiązanie.
Niech półproste AL,\ BN,\ CN,\ DL\ będą dwusiecznymi kątów równoległoboku przy wierzchołkach A,B,C,D,\ (rys. 3). Punkty K,L,M,N,\ to punkty przecięcia wymienionych dwusiecznych.
Niech miary kątów równoległoboku przy wierzchołkach A i B będą równe \alpha\ i \beta.
Oczywiście \alpha+\beta=180^0.\ |\angle{AKB}|=180^0-(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2})=180^0-90^0=90^0.\ Analogicznie wykazujemy, że pozostałe kąty czworokąta KLMN są proste. Czworokąt, którego wszystkie kąty są proste jest prostokątem.
Zadanie 4.
Dane są boki równoległoboku a,\ b\ oraz kąt między nimi zawarty 30^0.\ Oblicz pole czworokąta, którego wierzchołkami są punkty przecięcia dwusiecznych kątów tego równoległoboku.
Zadanie 5.
Wykaż, że w równoległoboku suma kwadratów długości jego przekątnych jest równa sumie kwadratów długości wszystkich jego boków.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz