czworokąty i okręgi

Pomocne twierdzenia przy rozwiązywaniu zadań.

Twierdzenie o okręgu wpisanym w czworokąt.

                                     
                                             Rys. 1.

W czworokąt można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości  przeciwległych boków czworokąta są równe.

Założenie: W czworokąt jest wpisany okrąg.
Teza: Sumy długości przeciwległych boków czworokąta są równe.
Dowód. Oznaczenia jak na rys. 1. $|AB|+|CD|=p+q+m+n\ $ i $|AD|+|BC|=p+q+m+n\ $ zatem
$|AB|+|CD|=|AD|+|BC|.$
Dowód twierdzenia odwrotnego pozostawiam czytelnikom.

Twierdzenie o okręgu opisanym na czworokącie.

                                     
                                                 Rys. 2.
   

Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar przeciwległych kątów czworokąta są równe.

Założenie: Na czworokącie jest opisany okrąg.
Teza: Sumy miar przeciwległych kątów czworokąta są równe.
Dowód. Oznaczenia jak na rys. 2. $|\angle{BAD}|=x\ $ i $|\angle{BCD}|=y.\ $ Miary kątów środkowych opartych na tych samych łukach co kąty $\angle{BAD}\ $ i $\angle{BCD}\ $  są dwukrotnie większe i wynoszą odpowiednio $2x\ $ i $2y.\ $    $|\angle{BAD}|+|\angle{BCD}|=x+y=\frac{1}{2}(2x+2y)=\frac{1}{2}\cdot 360^0=180^0,\ $ co kończy dowód.
Dowód twierdzenia odwrotnego pozostawiam czytelnikom.


Twierdzenie Ptolemeusza

W czworokącie wpisanym w okrąg iloczyn długości przekątnych jest równy sumie iloczynów długości przeciwległych boków.

$|AC|\cdot|BD|=|AB|\cdot|CD|+|BC|\cdot|AD|.  \\$

                                                                                                                                            

Zadanie

Przeciwległe boki czworokąta wpisanego w okrąg leżą na przecinających się prostych. Proste przecinają się pod kątami $\alpha\ $ i  $\beta.\ $Obliczyć miary kątów czworokąta.

Rozwiązanie. Oznaczenia jak na rysunku. Miary kątów wewnętrznych czworokąta przy wierzchołkach $A,B,C,D,\ $ to $|\angle{A}|,|\angle{B}|,|\angle{C}|,|\angle{D}|.\ $ Ponieważ czworokąt $ABCD\ $ jest wpisany w okrąg więc$|\angle{A}|+|\angle{C}|=|\angle{B}|+|\angle{D}|=180^0.\ $
W trójkątach $ADL\ $ i $CDK\ $ mamy: $|\angle{A}|+|\angle{D}|+\beta=180^0\ $
 i $|\angle{C}|+|\angle{D}|+\alpha=180^0\ $.  Dodając stronami otrzymamy:  $|\angle{D}|=90^0-\frac{\alpha+\beta}{2}\ $ i dalej $|\angle{B}|=90^0+\frac{\alpha+\beta}{2},\ |\angle{A}|=90^0+\frac{\alpha-\beta}{2},\ |\angle{C}|=90^0-\frac{\alpha-\beta}{2}.$

Zadanie

Wykaż, że jeżeli dwusieczne wewnętrznych kątów czworokąta przecinają się w czterech punktach, to na czworokącie wyznaczonym przez te punkty można opisać okrąg.
Rozwiązanie.

W czworokącie $ABCD\ $ suma miar kątów wewnętrznych wynosi $360^0,\ $ zatem
$2\alpha+2\beta+2\gamma+2\delta=360^0,\ $ stąd $\alpha+\beta+\gamma+\delta=180^0.$
Policzmy sumę miar przeciwległych kątów czworokąta $KLMN:\ \phi+\omega=180^0-(\alpha+\beta)+180^0-(\gamma+\delta)=360^0-180^0=180^0,\ $ zatem na czworokącie $KLMN\ $ można opisać okrąg.