Zadanie 1. (4 pkt)
Wyznacz cztery kolejne liczby całkowite takie, że największa z nich jest równa sumie kwadratów trzech pozostałych.
Zadanie 2. (4 pkt)
Rozwiąż nierówność
x^4+x^2 \geq2x.
Zadanie 3. (4 pkt)
Rozwiąż równanie
cos2x+2=3cosx.
Zadanie 4. (6 pkt)
Oblicz wszystkie wartości parametru
m,\ dla których równanie
x^2-(m+2)x+m+4=0\ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste
x_1,\ x_2\ takie, że
x_1^4+x_2^4=4m^3+6m^2-32m+12.
Zadanie 5. (6 pkt)
Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli do drugiej liczby dodamy 8, to ciąg ten zmieni się w arytmetyczny. Jeżeli zaś do ostatniej liczby nowego ciągu arytmetycznego dodamy 64, to tak otrzymany ciąg będzie znów geometryczny. Znajdź te liczby. Uwzględnij wszystkie możliwości.
Zadanie 6 (6 pkt)
W układzie współrzędnych rozważamy wszystkie punkty
P\ postaci:
P=(\frac{1}{2}m+\frac{5}{2},m),\ gdzie
m \in<-1,7>. Oblicz najmniejszą i największą wartość
|PQ|^2,\ gdzie
Q=(\frac{55}{2},0).
Zadanie 7 (3 pkt)
Udowodnij, że jeżeli
a+b \geq 0,\ to prawdziwa jest nierówność
a^3+b^3 \geq a^2b+ab^2.
Zadanie 8 (4 pkt)
Oblicz, ile jest liczb naturalnych ośmiocyfrowych takich, że iloczyn cyfr w ich zapisie dziesiętnym jest równy 12.
Zadanie 9 (5 pkt)
Dany jest prostokąt
ABCD,\ w którym
|AB|=a,\ |BC|=b,\ i \ a>b.\ Odcinek
AE\ jest wysokością trójkąta
DAB\ opuszczoną na jego bok
BD.\ Wyraź pole trójkąta
AED\ za pomocą
a \ i
b.
Zadanie 10. (5 pkt)
Podstawą ostrosłupa
ABCS\ jest trójkąt równoramienny
ABC.\ Krawędź
AS\ jest wysokością osrosłupa oraz
|AS|=8 \sqrt{210},\ |BS|=118,\ |CS|=131.\ Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Zadanie 11. (3 pkt)
Zdarzenia losowe
A, \ B\ są zawarte w
\Omega \ oraz
P(A \cap B')=0,7 \ (A' oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A, B' oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia B). Wykaż, że
P(A' \cap B) \leq 0,3.
Odpowiedzi:
1. - 1, 0, 1, 2
2.
x \in (- \infty,0> \cup <1, \infty)
3.
x=- \frac{\pi}{3}+2k \pi \ \vee x=\frac{\pi}{3}+2k \pi \ \vee x=2k \pi,\ k \in C
4.
m = -\sqrt{14}, \vee m= \sqrt{14}
5.
(11 \frac{1}{9},-2 \frac{2}{9},\frac{4}{9}) \ lub \ (36,12,4)
6. min
= \frac{2045}{4} , max
= \frac{2605}{4}
7. Dowód
8. 280
9.
P=\frac{ab^3}{2a^2+2b^2}
10.
V=1760 \sqrt{210}
11.Dowód
Rozwiązania niektórych zadań:
1. Można przyjąć, że szukane liczby to
n-1,\ n,\ n+1,\ n+2,\ n \in C\ \\
(n-1)^2+n^2+(n+1)^2=n+2 \\
n^2-2n+1+n^2+n^2+2n+1=n+2 \\
3n^2-n=0 \\
n(3n-1)=0 \\
n=0\ \vee \ n=\frac{1}{3} \not \in C.
Szukane liczby:
-1,\ 0, 1,\ 2.
5. Szukane liczby oznaczmy:
x,\ y,\ z.\ Można przyjąć, że
x=a-r,\ y=a-8,\ z=a+r\
wówczas liczby
x,\ y+8,\ z\ utworzą ciąg arytmetyczny, natomiast ciągi
(a-r,a-8,a+r)\ oraz
(a-r,a,a+r+64)\ będą ciągami geometrycznymi. Zatem
(a-8)^2=a^2-r^2\ \wedge\ a^2=(a-r)(a+r+64).\ Stąd
3r^2-64r+256=0,\
(r_1=\frac{16}{3} \wedge a_1=\frac{52}{9}) \vee (r_2=16 \wedge a_2=20).
Odp.
(\frac{4}{9},\ -\frac{20}{9},\ \frac{100}{9})\ lub (4,\ 12,\ 36).
6.
P=(\frac{1}{2}m+\frac{5}{2}, m)=(x, y) \\
\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{2}m+\frac{5}{2}=x \\ m=y \end{array}\right.\Rightarrow y=2x-5,\ x\in<2,\ 6>.
Zbiór punktów
P\ to odcinek
AB\ , gdzie
A=(2, -1),\ B=(6,\ 7).
Ponieważ prosta prostopadła do
AB\ przechodząca przez punkt
Q\ przecina prostą
k\ poza odcinkiem
AB\ co wynika z obliczeń: pr.
QQ':y=-\frac{1}{2}(x-\frac{55}{2}).
\left\{\begin{array}{cc}- \frac{1}{2}x+\frac{55}{4}=y \\ y=2x-5 \end{array}\right. \Rightarrow x=\frac{15}{2}\notin<2,\ 6> więc szukane wielkości to:
max = |AQ|^2=\frac{2605}{4} \\
min = |BQ|^2= \frac{2045}{4}.
7.
a+b \geq 0 \wedge (a-b)^2 \geq 0 \Rightarrow (a+b)(a-b)^2 \geq 0 \Rightarrow
(a+b)(a^2-2ab+b^2) \geq 0 \Rightarrow \\ a^3-2a^2b+ab^2+a^2b-2ab^2+b^3 \geq 0 \Rightarrow
a^3+b^3 \geq a^2b+ab^2.
9. \Delta AED \sim \Delta BAD w skali k= \frac{b}{ \sqrt{a^2+b^2}} /stosunek przeciwprostokątnych/
P_{AED}=k^2 \cdot P_{BAD}=(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})^2 \cdot \frac{1}{2}ab=\frac{ab^3}{2a^2+2b^2}.
11.(A \cap B') \cap (A' \cap B)=\emptyset \wedge \ ((A \cap B') \cup (A' \cap B)) \subset A \cup B,
P(A \cap B')+P(A' \cap B) \leq P(A \cup B) \leq 1,
P(A' \cap B) \leq 1-0,7=0,3.
