wtorek, 8 maja 2012

Próbna matura z Operonem 2012 - matematyka

Zadanie 1. (4 pkt)
Znajdź ujemne pierwiastki równania $||2x-1|-2|=4.$

Zadanie 2. (4 pkt)
Prostokąt o bokach długości $a, b\ $ jest podobny do prostokąta o bokach długości $a+5, b+5.\ $Wykaż, że te prostokąty są kwadratami.

Zadanie 3. (5 pkt)
Dla jakich $x\ $ liczby  $\frac{1}{2tgx},\ cosx,\ sinx\ $ w podanej kolejności są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego?

Zadanie 4. (4 pkt)
Wykaż, że dla dowolnej liczby $a>0\ $ zachodzi nierówność
$$log^2(\pi \cdot a)+log^2(\pi+a) \geq \frac{2}{log_{\pi+a}10}-log_\pi \pi.\ $$

Zadanie 5. (5 pkt)
Wierzchołki trójkąta równobocznego $ABC\ $ leżą na paraboli, będącej wykresem funkcji $f(x)=x^2-6x.$ Punkt $C\ $ leży w wierzchołku paraboli. Znajdź współrzędne jednego z pozostałych wierzchołków trójkąta.

Zadanie 6. (4 pkt)
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi podstawy jest równa $2a.\ $ Miara kąta między przekątną podstawy a przekątną ściany bocznej wychodzącą  z tego samego wierzchołka jest równa $\alpha.\ $ Oblicz objętość graniastosłupa.

Zadanie 7. (5 pkt)
W konkursie Jaka to piosenka? uczestnik zna 12 spośród przygotowanych 20 piosenek. Prowadzący przedstawia mu 4 piosenki. Uczestnik musi odgadnąć tytuł co najmniej jednej piosenki, aby przejść do dalszego etapu konkursu. Oblicz prawdopodobieństwo, że uczestnik przejdzie do dalszego etapu konkursu. Wynik podaj z dokładnością do 0,01.

Zadanie 8. (4 pkt)
Oblicz, dla jakich wartości parametru $k\ $ punkt przecięcia prostych o równaniach $y=-x,\ y=x+k\ $ należy do koła o nierówności $(x+1)^2+(y+1)^2 \leq10.$

Zadanie 9. (6 pkt)
Wiadomo, że pierwiastkami wielomianu $W(x)=x^3+ax^2+bx+6\ $ są liczby $-1\ $ i $2.$
Rozwiąż nierówność $W(x)>0.$

Zadanie 10. (5 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m\ $, dla których równanie $(m-1)x^2+2(m+1)x+4=0\ $ ma jedno rozwiązanie.

Zadanie 11. (4 pkt)
W trójkącie o polu $ \frac{1}{4}ab\ $dwa boki mają długości $a\ $ i $b.\ $ Znajdź długość trzeciego boku.

Odpowiedzi:
 1. x = - 2,5
 2. Dowód
 3. $x=\frac{\pi}{3}+2k \pi \vee x=- \frac{\pi}{3}+2k \pi\ ,k \in C$
 4. Dowód
 5. $A=(3+\sqrt{3},-6) ,\  B=(3- \sqrt{3},-6)$
 6. $V=4 \sqrt{2}a^3 \sqrt{tg^2 \alpha-1}$
 7. $P(A)=0,9855...\approx 0,99$
 8. $k \in <-4,4>$
 9. $x \in (-1,2) \cup (3,+\infty)$
10. $m=1 \vee m=5$
11. $c=\sqrt{a^2+b^2-ab \sqrt{3}} \vee c=\sqrt{a^2+b^2+ab \sqrt{3}}.$










Brak komentarzy:

Prześlij komentarz

Prześlij komentarz