Suma miar kątów wewnętrznych, liczba przekątnych n - kąta

Suma miar kątów wewnętrznych n-kąta wypukłego

Jeżeli poprowadzimy z jednego z wierzchołków np. z $A_1\ $ wszystkie przekątne, to n-kąt zostanie podzielony na (n - 2) trójkątów. Suma miar kątów wewnętrznych n-kąta jest równa sumie miar kątów wszystkich (n - 2) trójkątów zatem wynosi $$(n-2)\cdot 180^0.$$

Liczba przekątnych n-kąta wypukłego

 

Każda para spośród n wierzchołków n-kąta wyznacza przekątną lub bok n-kąta. Jest ich $\frac{n(n-1)}{2}\ $ - liczba dwuelementowych kombinacji n-elementowego zbioru. N spośród nich, to boki. Ilość przekątnych wynosi $\frac{n(n-1)}{2}-n=\frac{n(n-2)}{2}.\ $ Ostatecznie $$\frac{n(n-2)}{2}.$$

Zadania

1. Obliczyć sumę miar zewnętrznych
    a) trójkąta,
    b) czworokąta,
    c) n-kąta.

Rozwiązanie p. b)

Miary kątów wewnętrznych czworokąta $ABCD\ $ są równe $\alpha,\ \beta,\ \gamma,\ \delta\ $ a miary kątów zewnętrznych odpowiedno $180^0-\alpha,\ 180^0-\beta,\ 180^0-\gamma,\ 180^0-\delta.$

 Suma miar wszystkich kątów zewnętrznych wynosi: $2(180^0-\alpha+180^0-\beta+180^0-\gamma+180^0-\delta)=2[720^0-(\alpha+\beta+\gamma+\delta)]= \ $  $2(720^0-360^0)=720^0$.

2. Ile  wierzchołków ma wielokąt, którego liczba przekątnych jest
    a) 5 razy
    b) k razy
większa od liczby jego boków.