Twierdzenie o dwusiecznej kąta trójkąta

Twierdzenie
Dwusieczna kąta trójkąt dzieli jego bok na odcinki proporcjonalne do pozostałych boków trójkąta.

Założenie:   $CD\ $  jest dwusieczną kąta $\angle{C}$.
Teza:   $\frac{p}{q}=\frac{a}{b}$.
Dowód.  Oznaczenia jak na rysunku. Poprowadźmy prostą ${BE}\parallel{CD}$.
$|\angle{CBE}|=|\angle{BCD}|=\phi \wedge |\angle{CEB}|=|\angle{ACD}|=\phi$, więc trójkąt $BCE$ jest równoramienny i $|EC|=|BC|=a$. Na podstawie twierdzenia Talesa$$\frac{p}{q}=\frac{a}{b}.$$

Zadania

1. Mając dane długości boków  $a,b,c$  trójkąta $ABC$ obliczyć długości odcinków na jakie dwusieczna kąta $\angle{C}$ podzieliła bok $AB$.
2. Obliczyć długość odcinka jaki brzeg trójkąta $ABC$ wyciął z dwusiecznej kąta $\angle{C}$, mając dane długości boków trójkąta $a,b,c$.

Rozwiązania

1. Niech szukane odcinki mają długości $p,q$. Na podstawie tw. o dwusiecznej kąta mamy $\frac{p}{q}=\frac{a}{b} \wedge p+q=c$. Rozwiązując układ równań otrzymamy $$p=\frac{ac}{a+b}\qquad q=\frac{bc}{a+b}.$$
2. Wskazówka.
Zastosować tw. cosinusów w $\Delta ABC$ dla obliczenia $cos\angle{A}$ oraz w  $\Delta ADC$.

Graniastosłupy - objętości - pola powierzchni

Oznaczenia:

P - pole podstawy
B - pole powierzchni bocznej
h - wysokość
S - pole powierzchni całkowitej
V - objętość

$$V=P\cdot h\qquad S=2P+B$$

Zadania

1. Przekątna sześcianu jest o dwa dłuższa od przekątnej jego ściany. Obliczyć objętość i pole powierzchni sześcianu.
2. Wszystkie ściany równoległościanu są rombami o boku $a\ $ i kącie ostrym $\alpha.\ $ Obliczyć objętość równoległościanu.
3. W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym krawędź podstawy jest równa $a$, zaś najdłuższa przekątna graniastosłupa jest cztery razy większa od najkrótszej przekątnej jego podstawy. Obliczyć objętość i pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.
4. Podstawą graniastosłupa prostego jest równoległobok o bokach długości 2 i 4 oraz kącie ostrym $\frac{\pi}{3}$. Krótsza przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem  $\frac{\pi}{6}$. Obliczyć objętość i pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.

Rozwiązania

2. Oznaczenia jak na rysunku.

Z trójkąta $ALA'\qquad |AL|=a\cdot cos\alpha$,   z trójkąta $AKL\qquad |AK|=\frac{|AL|}{cos\frac{ \alpha}{2}}=\frac{a\cdot cos\alpha}{cos\frac{ \alpha}{2}}$,  z trójkąta $AKA'$     $h=\sqrt{a^2-|AK|^2}=\sqrt{a^2 -\frac{a^2\cdot cos^2\alpha}{cos^2\frac{\alpha}{2}}}=\frac{a}{cos\frac{ \alpha}{2}}\sqrt{cos^2\frac{\alpha}{2}-cos^2\alpha}$.
Zatem  $V=P \cdot h=a^2 sin\alpha\cdot\frac{a}{cos\frac{ \alpha}{2}}\sqrt{cos^2\frac{\alpha}{2}-cos^2\alpha}=2a^3sin\frac{\alpha}{2} \sqrt{sin\frac{3\alpha}{2}sin\frac{\alpha}{2}}.$

$S=6a^2sin\alpha.$

4. Oznaczenia jak na rysunku.

W trójkącie $ABD\qquad d^2= 16+4-16cos\frac{\pi}{3}=12$,  więc $d=2\sqrt{3}$.
W trójkącie $BDD'\qquad h=d\cdot tg\frac{\pi}{6}=2\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=2$.
$P=4\cdot2sin\frac{\pi}{3}=4\sqrt{3},\ B=(4+2+4+2)h=24$.

$V=P\cdot h=4\sqrt{3}\cdot 2=8\sqrt{3}\qquad S=2P+B=8\sqrt{3}+24.$

Pola figur płaskich - wzory - zadania

Oznaczenia

$a_1+a_2+...+a_n=2p \ -\ $ obwód

$r\ $ - promień okręgu wpisanego

$R\ $ - promień okręgu opisanego

$P\ $ - pole

1. Wielokąt opisany na okręgu

  $$P=p\cdot r$$

 2. Trójkąt

 

$$P=\frac{1}{2}ah_a \\$$

$$P=\frac{1}{2}absin\gamma \\$$

$$P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \\$$

$$ P=\frac{abc}{4R} \\$$

$$ P=2R^2 sin\alpha sin\beta sin\gamma$$

 

3. Równoległobok

 

  $$P=a\cdot h=absin\alpha$$

 

4. Romb

 

 

$$P=ah=\frac{1}{2}de=a^2sin\alpha$$

 

 5. Trapez

 

 

$$P=\frac{a+b}{2}\cdot h$$

 

Zadania

1. Środkowe dzielą trójkąt o polu P na sześć "małych" trójkątów.Obliczyć pola tych trójkątów.

2. Obliczyć stosunek wysokości trójkąta mając dane długości jego boków $a=6,\ b=7,\ c=8.$

3. Trójkąt o bokach długości $a,b,c\ $ podzielono prostą równoległą do boku $c\ $ na części o równych polach. Obliczyć długości boków każdej z tych części.

4. Obliczyć promień okręgu opisanego i pole trójkąta o bokach długości 2,3,4.

5. Dane są trzy różne proste równoległe. Odległość środkowej od skrajnych wynosi $a\ $ i $b.$ Wierzchołki trójkąta równobocznego leżą na tych trzech prostych.Obliczyć jego pole.

                                 
 Rys. do zadania nr 5.

Rozwiązania:

2. $P= \frac{1}{2}ah_a= \frac{1}{2}bh_b= \frac{1}{2}ch_c=3h_a= \frac{7}{2}h_b=4h_c$
$h_a=\frac{1}{3}P,\ h_b=\frac{2}{7}P,\ h_c=\frac{1}{4}P$

$h_a:h_b:h_c=\frac{1}{3}:\frac{2}{7}:\frac{1}{4}=28:24:21.$

3. Posłużmy się rysunkiem

$\Delta_{KLC}\sim \Delta_{ABC} \wedge P_{KLC}=\frac{1}{2}P_{ABC}\Rightarrow \frac{P_{KLC}}{P_{ABC}}=k^2=\frac{1}{2}\Rightarrow k=\frac{\sqrt{2}}{2}$
/stosunek pól figur podobnych równy jest kwadratowi skali ich podobieństwa/.
Części to trójkąt $KLC\ $ o bokach $x=c\frac{\sqrt{2}}{2},\ y=b\frac{\sqrt{2}}{2},\ z=a\frac{\sqrt{2}}{2}\ $ oraz trapez $ABLK\ $ o bokach $c, v=a-a\frac{\sqrt{2}}{2}, x=c\frac{\sqrt{2}}{2}, u=b-b\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Suma miar kątów wewnętrznych, liczba przekątnych n - kąta

Suma miar kątów wewnętrznych n-kąta wypukłego

Jeżeli poprowadzimy z jednego z wierzchołków np. z $A_1\ $ wszystkie przekątne, to n-kąt zostanie podzielony na (n - 2) trójkątów. Suma miar kątów wewnętrznych n-kąta jest równa sumie miar kątów wszystkich (n - 2) trójkątów zatem wynosi $$(n-2)\cdot 180^0.$$

Liczba przekątnych n-kąta wypukłego

 

Każda para spośród n wierzchołków n-kąta wyznacza przekątną lub bok n-kąta. Jest ich $\frac{n(n-1)}{2}\ $ - liczba dwuelementowych kombinacji n-elementowego zbioru. N spośród nich, to boki. Ilość przekątnych wynosi $\frac{n(n-1)}{2}-n=\frac{n(n-2)}{2}.\ $ Ostatecznie $$\frac{n(n-2)}{2}.$$

Zadania

1. Obliczyć sumę miar zewnętrznych
    a) trójkąta,
    b) czworokąta,
    c) n-kąta.

Rozwiązanie p. b)

Miary kątów wewnętrznych czworokąta $ABCD\ $ są równe $\alpha,\ \beta,\ \gamma,\ \delta\ $ a miary kątów zewnętrznych odpowiedno $180^0-\alpha,\ 180^0-\beta,\ 180^0-\gamma,\ 180^0-\delta.$

 Suma miar wszystkich kątów zewnętrznych wynosi: $2(180^0-\alpha+180^0-\beta+180^0-\gamma+180^0-\delta)=2[720^0-(\alpha+\beta+\gamma+\delta)]= \ $  $2(720^0-360^0)=720^0$.

2. Ile  wierzchołków ma wielokąt, którego liczba przekątnych jest
    a) 5 razy
    b) k razy
większa od liczby jego boków.

Trójkąty - środkowe, symetralne, dwusieczne - zadania

Nierówność trójkąta

Liczby $a,\ b,\ c\ $ są długościami boków pewnego trójkąta wtedy i tylko wtedy, gdy $$|a-b|<c<a+b.$$

Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta

Prosta $k\ $ tworzy z ramionami $AC\ $ i  $BC\ $ trójkąta kąty o mierze $\alpha\ $ i  $\beta\ $ (kąty naprzemianległe wewnętrzne). Stąd $\alpha+\beta+\gamma=180^0 .$

Środkową trójkąta nazywamy odcinek, którego końcami są: wierzchołek trójkąta i środek przeciwległego
 boku.

Twierdzenie
Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Dzieli on środkowe w stosunku $\frac{1}{2}.\ $
Dowód części twierdzenia.
Niech punkty $K\ $ i $M\ $ będą środkami boków $BC\ $ i $AB\ $ trójkąta $ABC,\ $ a punkt $O\ $ punktem przecięcia tych środkowych.

Poprowadźmy prostą $KN\ $ równoległą do $CM.\ $ Proste te przecinają ramiona $\angle{ABC},\ $ więc odcinki wyznaczone na ramionach kąta są proporcjonalne.  $\frac{|NB|}{|NM|}=\frac{|KB|}{|KC|}=1\ $ zatem $|NB|=|NM|.\ $ Te same proste przecinają również ramiona $\angle{BAK}\ $ zatem  $\frac{|OK|}{|OA|}=\frac{|MN|}{|MA|}=\frac{1}{2}.\ $
Aby wykazać, że punkt $O\ $ jest punktem wspólnym trzech środkowych można posłużyć się rachunkiem wektorów.
Punkt przecięcia środkowych nazywamy środkiem ciężkości trójkąta.

Zadanie

Obliczyć długość środkowej trójkąta prostokątnego poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego mając dane długości przyprostokątnych $a\ $ i $b.\ $

Zadanie

W trójkącie środkowe $AK\ $ i $BL\ $ są prostopadłe. Mając dane długości boków $|BC|=a\ $ i $|AC|=b\ $ obliczyć długość trzeciego boku.

Zadanie

Niech $a\ ,b,\ c\ $ oznczają długości boków trójkąta, a  $s_a,\ s_b,\ s_c\ $ długości środkowych poprowadzonych do tych boków. Wykazać, że $$\frac{3(a+b+c)}{4}<s_a+s_b+s_c<a+b+c. $$

 Dowód.

W oparciu o nierówność trójkąta (rys. 1.) mamy: $2s_c<a+b.\ $ Podobnie wykazujemy, że $2s_b<a+c\ $ i $2s_a<b+c.\ $ Dodając nierówności stronami i dzieląc przez 2 otrzymujemy: $s_a+s_b+s_c<a+b+c.\ $ 

   

 

                                        Rys. 1

 Drugą część nierówności wykażemy w oparciu o rys. 2.

                               
                                   Rys. 2

W trójkątach wyznaczonych przez punkty $A,B,C\ $ i punkt przecięcia środkowych mamy:
$a<\frac{2}{3}s_b+\frac{2}{3}s_c,\ b<\frac{2}{3}s_a+\frac{2}{3}s_c,\ c<\frac{2}{3}s_a+\frac{2}{3}s_b.\ $ Dodając nierówności stronami i mnożąc obie strony przez $\frac{3}{4}\ $ otrzymamy tezę postawioną w zadaniu.

Twierdzenie

Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Jest on środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

 Dowód.
Niech $k,\ l\ m\ $ będą symetralnymi boków trójkąta jak na rysunku. Niech $k\cap l=\{O\}\Rightarrow|OB|=|OC| \wedge|OA|=|OC| \Rightarrow|OA|=|OB| \Rightarrow O\in l.\ $
Tym samym punkty $A,\ B,\ C\ $ są równo odległe od punktu $O\ $ więc leżą na okręgu o środku $O.$

Twierdzenie

Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Jest on środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt




Wysokością trójkąta nazywamy odcinek, którego jednym końcem jest wierzchołek trójkąta a drugim prostokątny rzut tego wierzchołka na prostą zawierającą bok przeciwległy.

Twierdzenie

Proste zawierające wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie. (punkt ten nazywamy ortocentrum trójkąta)

czworokąty i okręgi

Pomocne twierdzenia przy rozwiązywaniu zadań.

Twierdzenie o okręgu wpisanym w czworokąt.

                                     
                                             Rys. 1.

W czworokąt można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości  przeciwległych boków czworokąta są równe.

Założenie: W czworokąt jest wpisany okrąg.
Teza: Sumy długości przeciwległych boków czworokąta są równe.
Dowód. Oznaczenia jak na rys. 1. $|AB|+|CD|=p+q+m+n\ $ i $|AD|+|BC|=p+q+m+n\ $ zatem
$|AB|+|CD|=|AD|+|BC|.$
Dowód twierdzenia odwrotnego pozostawiam czytelnikom.

Twierdzenie o okręgu opisanym na czworokącie.

                                     
                                                 Rys. 2.
   

Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar przeciwległych kątów czworokąta są równe.

Założenie: Na czworokącie jest opisany okrąg.
Teza: Sumy miar przeciwległych kątów czworokąta są równe.
Dowód. Oznaczenia jak na rys. 2. $|\angle{BAD}|=x\ $ i $|\angle{BCD}|=y.\ $ Miary kątów środkowych opartych na tych samych łukach co kąty $\angle{BAD}\ $ i $\angle{BCD}\ $  są dwukrotnie większe i wynoszą odpowiednio $2x\ $ i $2y.\ $    $|\angle{BAD}|+|\angle{BCD}|=x+y=\frac{1}{2}(2x+2y)=\frac{1}{2}\cdot 360^0=180^0,\ $ co kończy dowód.
Dowód twierdzenia odwrotnego pozostawiam czytelnikom.


Twierdzenie Ptolemeusza

W czworokącie wpisanym w okrąg iloczyn długości przekątnych jest równy sumie iloczynów długości przeciwległych boków.

$|AC|\cdot|BD|=|AB|\cdot|CD|+|BC|\cdot|AD|.  \\$

                                                                                                                                            

Zadanie

Przeciwległe boki czworokąta wpisanego w okrąg leżą na przecinających się prostych. Proste przecinają się pod kątami $\alpha\ $ i  $\beta.\ $Obliczyć miary kątów czworokąta.

Rozwiązanie. Oznaczenia jak na rysunku. Miary kątów wewnętrznych czworokąta przy wierzchołkach $A,B,C,D,\ $ to $|\angle{A}|,|\angle{B}|,|\angle{C}|,|\angle{D}|.\ $ Ponieważ czworokąt $ABCD\ $ jest wpisany w okrąg więc$|\angle{A}|+|\angle{C}|=|\angle{B}|+|\angle{D}|=180^0.\ $
W trójkątach $ADL\ $ i $CDK\ $ mamy: $|\angle{A}|+|\angle{D}|+\beta=180^0\ $
 i $|\angle{C}|+|\angle{D}|+\alpha=180^0\ $.  Dodając stronami otrzymamy:  $ |\angle{D}|=90^0-\frac{\alpha+\beta}{2}\ $ i dalej $ |\angle{B}|=90^0+\frac{\alpha+\beta}{2},\ |\angle{A}|=90^0+\frac{\alpha-\beta}{2},\ |\angle{C}|=90^0-\frac{\alpha-\beta}{2}.$

Zadanie

Wykaż, że jeżeli dwusieczne wewnętrznych kątów czworokąta przecinają się w czterech punktach, to na czworokącie wyznaczonym przez te punkty można opisać okrąg.
Rozwiązanie.

W czworokącie $ABCD\ $ suma miar kątów wewnętrznych wynosi $360^0,\ $ zatem
$2\alpha+2\beta+2\gamma+2\delta=360^0,\ $ stąd $\alpha+\beta+\gamma+\delta=180^0. $
Policzmy sumę miar przeciwległych kątów czworokąta $KLMN:\ \phi+\omega=180^0-(\alpha+\beta)+180^0-(\gamma+\delta)=360^0-180^0=180^0,\ $ zatem na czworokącie $KLMN\ $ można opisać okrąg.

Równoległoboki - własności - zadania

Równoległobokiem nazywamy czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych.

Zadanie 1.

Oblicz pole równoległoboku mając dane długości jego przekątnych oraz kąt między nimi zawarty.

Rozwiązanie.

Niech w równoległoboku $ABCD\ $przekątne mają długości $d\ $oraz $e\ $ i kąt między nimi $|\angle{BOC}|=\alpha.\ $ Poprowadźmy proste równoległe do przekątnych równoległoboku przechodzące przez jego wierzchołki. Otrzymamy równoległobok $KLMN\ $ o bokach długości $d,\ e$ i kącie $\angle{KNM}|=\alpha$ i polu dwukrotnie większym od pola równoległoboku (KLMN składa się z ośmiu przystających trójkątów).

$P_{ABCD}=\frac{1}{2}P_{KLMN}=\frac{1}{2}de\cdot\sin\alpha.$

Zadanie 2.

Oblicz pole równoległoboku mając dane długości jego przekątnych oraz kąt ostry równoległoboku.

Rozwiązanie.

Niech przekątne mają długości $d\ $ oraz $e\ $ a kąt ostry $|\angle{BAD}|=\alpha.$

Z twierdzenia cosinusów $e^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha\ $ oraz $d^2=a^2+b^2+2ab\cos\alpha\ $Stąd

$d^2-e^2=4ab\cos\alpha=\frac{4ab\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha}\ $ i $ab\sin\alpha=\frac{e^2-d^2}{4ctg\alpha}.\ $ Ostatecznie $$P=\frac{1}{4}(d^2-e^2) tg\alpha.$$

Zadanie 3.

Dwusieczne kątów równoległoboku przecinają się w czterech punktach. Wykaż, że są to wierzchołki prostokąta.

Rozwiązanie.

Niech półproste $AL,\ BN,\ CN,\ DL\ $ będą dwusiecznymi kątów równoległoboku przy wierzchołkach $A,B,C,D,\ $ (rys. 3). Punkty $K,L,M,N,\ $ to punkty przecięcia wymienionych dwusiecznych.

Niech miary kątów równoległoboku przy wierzchołkach A i B będą równe $\alpha\ $ i $\beta.$
Oczywiście $\alpha+\beta=180^0.\ |\angle{AKB}|=180^0-(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2})=180^0-90^0=90^0.\ $  Analogicznie wykazujemy, że pozostałe kąty czworokąta KLMN są proste. Czworokąt, którego wszystkie kąty są proste jest prostokątem.

Zadanie 4.

Dane są boki równoległoboku $a,\ b\ $oraz kąt między nimi zawarty $30^0.\ $Oblicz pole czworokąta, którego wierzchołkami są punkty przecięcia dwusiecznych kątów tego równoległoboku.

Zadanie 5.

Wykaż, że w równoległoboku suma kwadratów długości jego przekątnych jest równa sumie kwadratów długości wszystkich jego boków.

Trapezy - własności - zadania

Trapezem nazywamy czworokąt, który ma parę boków równoległych. Te boki nazywamy podstawami.

Zadanie 1.

Mając dane długości podstaw $ a \ $ i $b \ $ trapezu oblicz długość odcinka, którego końcami są środki ramion tego trapezu.

 Rozwiązanie.

Niech $|AB|=a, \  |CD|=b, \ |KL|=s, \   \wedge\ K, \ L $ są środkami $ AD \ $ i $BC \ .$
$\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{KD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CL} \\
\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BL} \\
2\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+ \overrightarrow{0}\\
\overrightarrow{KL}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}),\\ $    
/$\overrightarrow{AB},\  \overrightarrow{DC}\ $są równoległe i mają zwroty zgodne/
Wnioski:  ${KL} \parallel {AB} \ $ i $$ s=\frac{a+b}{2} .$$  /średnia arytmetyczna/

Zadanie 2.

Dane są długości podstaw trapezu $|AB|=a,\ |CD|=b. \ $ Przekątne trapezu przecinają się w punkcie $O.\ $
Odcinek $KL \ $jest równoległy do pdstaw i przechodzi przez punkt $O. \ $ Końce odcinka należą do ramion trapezu.
 a) Wykazać, że $|KO|=|LO|. \\$
 b) Obliczyć długość $KL .$

Rozwiązanie.

Niech $|KO|=x,\ |LO|=y,\ |KL|=s.\ $ Z podobieństwa trójkątów $KOD \ $ i $ABD \ $ (kk)
$ \frac{x}{a}=\frac{|OD|}{|OD|+|OB|}=\frac{1}{1+\frac{|OB|}{|OD|}} =\frac{1}{1+\frac{a}{b}}=\frac{b}{a+b}\ \Rightarrow x=\frac{ab}{a+b} .\ $
Z podobieństwa trójkątów $LOC \ $ i $BAC \ $
$ \frac{y}{a}=\frac{|OC|}{|OA|+|OC|}=\frac{1}{\frac{|OA|}{|OC|}+1}=\frac{1}{\frac{a}{b}+1}=\frac{b}{a+b} \Rightarrow y=\frac{ab}{a+b} .\ $
Wnioski:
 a) $x=y,$
 b) $|KL|=s=x+y$   $$s=\frac{2ab}{a+b}.$$  /średnia harmoniczna/

Zadanie 3.

Przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty o polach $P_1,\ P_2,\ S_1,\ S_2.\ $ Oznaczenia jak na rys. 3.
 a) Wykazać, że $S_1=S_2.$
 b) Mając dane $P_1,\ P_2\ $obliczyć pole trapezu $P.$
 c) Znając stosunek podstaw $k=\frac{a}{b}\ $i pole trapezu $P\ $obliczyć $P_1,\ P_2,\ S=S_1=S_2.$

Rozwiązanie.

Niech $|\angle{AOB}|=\alpha.\ $Zauważmy, że $|\angle{AOD}|=180^0-\alpha\ $ i  $sin(180^0-\alpha)=sin \alpha.$
 a)  $P_{ABD}=P_{ABC}$    /wspólna podstawa i równe wysokości/
$P_1+S_1=P_1+S_2$
$S_1=S_2.$
 b) Ponieważ $S^2=S_1S_2=(\frac{1}{2}ps\cdot sin\alpha)(\frac{1}{2}qr\cdot sin\alpha)=(\frac{1}{2}pq\cdot sin\alpha)(\frac{1}{2}rs\cdot sin\alpha)=P_1P_2$, więc $S=\sqrt{P_1P_2}.$

$P_{ABCD}=P_1+S_1+S_2+P_2=P_1+2\sqrt{P_1P_2}+P_2=(\sqrt{P_1}+\sqrt{P_2})^2.$

 c) Trójkąty $AOB\ $i $AOD\ $mają wspólną wysokość a stosunek ich podstaw jest równy $\frac{q}{s}=k\ $stąd $\frac{P_1}{S}=k\ $czyli $P_1=k \cdot S.$
Podobnie z parą trójkątów $AOD\ $i $COD.\ $Otrzymujemy $S=k\cdot P_2\ $i $P_2=\frac{1}{k}\cdot S.\ $
Zatem $P=P_1+2S+P_2=k \cdot S+2S+\frac{1}{k}\cdot S=\frac{S\cdot(k^2+2k+1)}{k}=S\cdot\frac{(k+1)^2}{k}. $Ostatecznie$$S=\frac{k}{(k+1)^2}\cdot P\ $$ $$P_1=\frac{k^2}{(k+1)^2}\cdot P\ $$ $$P_2=\frac{1}{(k+1)^2}\cdot P.$$

Zadanie 4.

 
       Rys. 4.


Mając dane długości podstaw trapezu obliczyć długość odcinka łączącego środki jego przekątnych. Oznaczenia jak na rys. 4 $(a\geq b).$

Rozwiązanie.

$\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DL}$
$\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BL}$

$2\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{0}$
/Wektory $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}\ $są równoległe i mają zwroty przeciwne/
Wniski: $KL\parallel AB\ $  i $$s=\frac{a-b}{2}.$$

Egzamin maturalny z matematyki maj 2012 poz. rozsz.

Zadanie 1. (4 pkt)

Wyznacz cztery kolejne liczby całkowite takie, że największa z nich jest równa sumie kwadratów trzech pozostałych.

Zadanie 2. (4 pkt)

Rozwiąż nierówność  $x^4+x^2 \geq2x.$

Zadanie 3. (4 pkt)

Rozwiąż równanie  $cos2x+2=3cosx.$

Zadanie 4. (6 pkt)

Oblicz wszystkie wartości parametru $m,\ $ dla których równanie  $x^2-(m+2)x+m+4=0\ $ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste  $x_1,\ x_2\ $ takie, że  $x_1^4+x_2^4=4m^3+6m^2-32m+12.$

Zadanie 5. (6 pkt)

Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli do drugiej liczby dodamy 8, to ciąg ten zmieni się w arytmetyczny. Jeżeli zaś do ostatniej liczby nowego ciągu arytmetycznego dodamy 64, to tak otrzymany ciąg będzie znów geometryczny. Znajdź te liczby. Uwzględnij wszystkie możliwości.

Zadanie 6 (6 pkt)

W układzie współrzędnych rozważamy wszystkie punkty $P\ $ postaci: $P=(\frac{1}{2}m+\frac{5}{2},m),\ $ gdzie $m \in<-1,7>.$ Oblicz najmniejszą i największą wartość  $|PQ|^2,\ $ gdzie  $Q=(\frac{55}{2},0).$

Zadanie 7 (3 pkt)

Udowodnij, że jeżeli  $a+b \geq 0,\ $ to prawdziwa jest nierówność  $a^3+b^3 \geq a^2b+ab^2.$

Zadanie 8 (4 pkt)

Oblicz, ile jest liczb naturalnych ośmiocyfrowych takich, że iloczyn cyfr w ich zapisie dziesiętnym jest równy 12.

Zadanie 9 (5 pkt)

Dany jest prostokąt $ABCD,\ $ w którym $|AB|=a,\ |BC|=b,\    i \   a>b.\ $ Odcinek $AE\  $ jest wysokością trójkąta $DAB\ $ opuszczoną na jego bok $BD.\ $ Wyraź pole trójkąta $AED\ $ za pomocą $a \ $ i  $ b.$

Zadanie 10. (5 pkt)

Podstawą ostrosłupa $ABCS\ $ jest trójkąt równoramienny $ABC.\ $ Krawędź $AS\ $ jest wysokością osrosłupa oraz $|AS|=8 \sqrt{210},\ |BS|=118,\ |CS|=131.\ $ Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 11. (3 pkt)

Zdarzenia losowe  $A, \ B\ $ są zawarte w $ \Omega \ $ oraz $ P(A \cap B')=0,7 \ $ (A' oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A, B' oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia B). Wykaż, że $P(A' \cap B) \leq 0,3.$

Odpowiedzi:

1.    - 1, 0, 1, 2

2.  $x \in (- \infty,0> \cup <1, \infty)$

3.  $ x=- \frac{\pi}{3}+2k \pi \  \vee x=\frac{\pi}{3}+2k \pi \  \vee x=2k \pi,\ k \in C $

4.  $ m = -\sqrt{14}, \vee m= \sqrt{14}$

5.  $  (11 \frac{1}{9},-2 \frac{2}{9},\frac{4}{9}) \ lub \ (36,12,4) $

6.  min $ = \frac{2045}{4} ,$      max $ = \frac{2605}{4}$

7.  Dowód

8.  280

9.  $$ P=\frac{ab^3}{2a^2+2b^2} $$

10.  $ V=1760 \sqrt{210} $

11.Dowód

Rozwiązania niektórych zadań:

1. Można przyjąć, że szukane liczby to
 $ n-1,\ n,\ n+1,\ n+2,\ n \in C\ \\
(n-1)^2+n^2+(n+1)^2=n+2 \\
n^2-2n+1+n^2+n^2+2n+1=n+2 \\
3n^2-n=0 \\
n(3n-1)=0 \\
n=0\ \vee \ n=\frac{1}{3} \not \in C.$
Szukane liczby:  $-1,\ 0, 1,\ 2.$

5. Szukane liczby oznaczmy: $x,\ y,\ z.\ $Można przyjąć, że $x=a-r,\ y=a-8,\ z=a+r\ $
wówczas liczby $x,\ y+8,\ z\ $utworzą ciąg arytmetyczny, natomiast ciągi $(a-r,a-8,a+r)\ $oraz $(a-r,a,a+r+64)\ $będą ciągami geometrycznymi. Zatem
$ (a-8)^2=a^2-r^2\ \wedge\    a^2=(a-r)(a+r+64).\  $Stąd $3r^2-64r+256=0,\ $
$(r_1=\frac{16}{3} \wedge a_1=\frac{52}{9}) \vee (r_2=16 \wedge a_2=20).$
Odp. $(\frac{4}{9},\ -\frac{20}{9},\ \frac{100}{9})\ $lub $(4,\ 12,\ 36).$

6. $P=(\frac{1}{2}m+\frac{5}{2}, m)=(x, y) \\
\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{2}m+\frac{5}{2}=x \\ m=y \end{array}\right.\Rightarrow y=2x-5,\ x\in<2,\ 6>. $
Zbiór punktów $P\ $ to odcinek $AB\ $, gdzie $A=(2, -1),\ B=(6,\ 7).$

Ponieważ prosta prostopadła do $AB\ $ przechodząca przez punkt $Q\ $ przecina prostą $k\ $ poza odcinkiem $AB\ $ co wynika z obliczeń: pr.$QQ':y=-\frac{1}{2}(x-\frac{55}{2})$.
$\left\{\begin{array}{cc}- \frac{1}{2}x+\frac{55}{4}=y \\ y=2x-5 \end{array}\right. \Rightarrow x=\frac{15}{2}\notin<2,\ 6>$ więc szukane wielkości to:

max = $|AQ|^2=\frac{2605}{4} \\$

min = $|BQ|^2= \frac{2045}{4}.$

7.  $a+b \geq 0 \wedge (a-b)^2 \geq 0 \Rightarrow (a+b)(a-b)^2 \geq 0 \Rightarrow

(a+b)(a^2-2ab+b^2) \geq 0 \Rightarrow \\ a^3-2a^2b+ab^2+a^2b-2ab^2+b^3 \geq 0 \Rightarrow

a^3+b^3 \geq a^2b+ab^2.$

9. $\Delta AED \sim \Delta BAD$ w  skali  $k= \frac{b}{ \sqrt{a^2+b^2}}$  /stosunek przeciwprostokątnych/ 

 $P_{AED}=k^2 \cdot P_{BAD}=(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})^2 \cdot \frac{1}{2}ab=\frac{ab^3}{2a^2+2b^2}$.  

11.$(A \cap B') \cap (A' \cap B)=\emptyset  \wedge \ ((A \cap B') \cup (A' \cap B)) \subset A \cup B$, 

$ P(A \cap B')+P(A' \cap B) \leq P(A \cup B) \leq 1$,  

$ P(A' \cap B) \leq 1-0,7=0,3$.

Egzamin maturalny z matematyki 2012 poz. podst.

Odpowiedzi:

1.-----A,  2.-----B,  3.-----A,  4.-----B,  5.-----B,  6.-----C,  7.-----A,  8.-----A,  9.-----C,

10. -----D,  11.-----B,  12.-----B,  13.-----D,  14.-----D, 15.-----B, 16.-----C,  17.-----C, 

18.-----B, 19.-----B,  20.-----A,  21.-----A,  22.-----A,  23.-----B,  24.-----C,  25.-----D.

26. $x \in(-\infty,-5) \cup (-3,+ \infty)\ ,$  27. Uzasadn.,  28. - 3,  29. $y=0,5x+6,\ $ 30. Uzasadn.,

31. $P(A)=\frac{17}{49},  $  32. $x=14,\ y=126,\ z=378,\ $  33. $V=\frac{32 \sqrt{3}}{3},\  $  34. t = 2,5h.

                                                                

Próbna matura z Operonem 2012 - matematyka

Zadanie 1. (4 pkt)

Znajdź ujemne pierwiastki równania $||2x-1|-2|=4.$

Zadanie 2. (4 pkt)

Prostokąt o bokach długości $a, b\ $ jest podobny do prostokąta o bokach długości $a+5, b+5.\ $Wykaż, że te prostokąty są kwadratami.

Zadanie 3. (5 pkt)

Dla jakich $x\ $ liczby  $\frac{1}{2tgx},\ cosx,\ sinx\ $ w podanej kolejności są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego?

Zadanie 4. (4 pkt)

Wykaż, że dla dowolnej liczby $a>0\ $ zachodzi nierówność

$$log^2(\pi \cdot a)+log^2(\pi+a) \geq \frac{2}{log_{\pi+a}10}-log_\pi \pi.\ $$

Zadanie 5. (5 pkt)

Wierzchołki trójkąta równobocznego $ABC\ $ leżą na paraboli, będącej wykresem funkcji $f(x)=x^2-6x.$ Punkt $C\ $ leży w wierzchołku paraboli. Znajdź współrzędne jednego z pozostałych wierzchołków trójkąta.

Zadanie 6. (4 pkt)

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi podstawy jest równa $2a.\ $ Miara kąta między przekątną podstawy a przekątną ściany bocznej wychodzącą  z tego samego wierzchołka jest równa $\alpha.\ $ Oblicz objętość graniastosłupa.

Zadanie 7. (5 pkt)

W konkursie Jaka to piosenka? uczestnik zna 12 spośród przygotowanych 20 piosenek. Prowadzący przedstawia mu 4 piosenki. Uczestnik musi odgadnąć tytuł co najmniej jednej piosenki, aby przejść do dalszego etapu konkursu. Oblicz prawdopodobieństwo, że uczestnik przejdzie do dalszego etapu konkursu. Wynik podaj z dokładnością do 0,01.

Zadanie 8. (4 pkt)

Oblicz, dla jakich wartości parametru $k\ $ punkt przecięcia prostych o równaniach $y=-x,\ y=x+k\ $ należy do koła o nierówności $(x+1)^2+(y+1)^2 \leq10.$

Zadanie 9. (6 pkt)

Wiadomo, że pierwiastkami wielomianu $W(x)=x^3+ax^2+bx+6\ $ są liczby $-1\ $ i $2.$

Rozwiąż nierówność $W(x)>0.$

Zadanie 10. (5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m\ $, dla których równanie $(m-1)x^2+2(m+1)x+4=0\ $ ma jedno rozwiązanie.

Zadanie 11. (4 pkt)

W trójkącie o polu $ \frac{1}{4}ab\ $dwa boki mają długości $a\ $ i $b.\ $ Znajdź długość trzeciego boku.

Odpowiedzi:
 1. x = - 2,5
 2. Dowód
 3. $x=\frac{\pi}{3}+2k \pi \vee x=- \frac{\pi}{3}+2k \pi\ ,k \in C$
 4. Dowód
 5. $A=(3+\sqrt{3},-6) ,\  B=(3- \sqrt{3},-6)$
 6. $V=4 \sqrt{2}a^3 \sqrt{tg^2 \alpha-1}$
 7. $P(A)=0,9855...\approx 0,99$
 8. $k \in <-4,4>$
 9. $x \in (-1,2) \cup (3,+\infty)$
10. $m=1 \vee m=5$
11. $c=\sqrt{a^2+b^2-ab \sqrt{3}} \vee c=\sqrt{a^2+b^2+ab \sqrt{3}}.$