Graniastosłupy - objętości - pola powierzchni

Oznaczenia:

P - pole podstawy
B - pole powierzchni bocznej
h - wysokość
S - pole powierzchni całkowitej
V - objętość

$$V=P\cdot h\qquad S=2P+B$$

Zadania

1. Przekątna sześcianu jest o dwa dłuższa od przekątnej jego ściany. Obliczyć objętość i pole powierzchni sześcianu.
2. Wszystkie ściany równoległościanu są rombami o boku $a\ $ i kącie ostrym $\alpha.\ $ Obliczyć objętość równoległościanu.
3. W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym krawędź podstawy jest równa $a$, zaś najdłuższa przekątna graniastosłupa jest cztery razy większa od najkrótszej przekątnej jego podstawy. Obliczyć objętość i pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.
4. Podstawą graniastosłupa prostego jest równoległobok o bokach długości 2 i 4 oraz kącie ostrym $\frac{\pi}{3}$. Krótsza przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem  $\frac{\pi}{6}$. Obliczyć objętość i pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.

Rozwiązania

2. Oznaczenia jak na rysunku.

Z trójkąta $ALA'\qquad |AL|=a\cdot cos\alpha$,   z trójkąta $AKL\qquad |AK|=\frac{|AL|}{cos\frac{ \alpha}{2}}=\frac{a\cdot cos\alpha}{cos\frac{ \alpha}{2}}$,  z trójkąta $AKA'$     $h=\sqrt{a^2-|AK|^2}=\sqrt{a^2 -\frac{a^2\cdot cos^2\alpha}{cos^2\frac{\alpha}{2}}}=\frac{a}{cos\frac{ \alpha}{2}}\sqrt{cos^2\frac{\alpha}{2}-cos^2\alpha}$.
Zatem  $V=P \cdot h=a^2 sin\alpha\cdot\frac{a}{cos\frac{ \alpha}{2}}\sqrt{cos^2\frac{\alpha}{2}-cos^2\alpha}=2a^3sin\frac{\alpha}{2} \sqrt{sin\frac{3\alpha}{2}sin\frac{\alpha}{2}}.$

$S=6a^2sin\alpha.$

4. Oznaczenia jak na rysunku.

W trójkącie $ABD\qquad d^2= 16+4-16cos\frac{\pi}{3}=12$,  więc $d=2\sqrt{3}$.
W trójkącie $BDD'\qquad h=d\cdot tg\frac{\pi}{6}=2\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=2$.
$P=4\cdot2sin\frac{\pi}{3}=4\sqrt{3},\ B=(4+2+4+2)h=24$.

$V=P\cdot h=4\sqrt{3}\cdot 2=8\sqrt{3}\qquad S=2P+B=8\sqrt{3}+24.$