Równoległoboki - własności - zadania

Równoległobokiem nazywamy czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych.

Zadanie 1.

Oblicz pole równoległoboku mając dane długości jego przekątnych oraz kąt między nimi zawarty.

Rozwiązanie.

Niech w równoległoboku $ABCD\ $przekątne mają długości $d\ $oraz $e\ $ i kąt między nimi $|\angle{BOC}|=\alpha.\ $ Poprowadźmy proste równoległe do przekątnych równoległoboku przechodzące przez jego wierzchołki. Otrzymamy równoległobok $KLMN\ $ o bokach długości $d,\ e$ i kącie $\angle{KNM}|=\alpha$ i polu dwukrotnie większym od pola równoległoboku (KLMN składa się z ośmiu przystających trójkątów).

$P_{ABCD}=\frac{1}{2}P_{KLMN}=\frac{1}{2}de\cdot\sin\alpha.$

Zadanie 2.

Oblicz pole równoległoboku mając dane długości jego przekątnych oraz kąt ostry równoległoboku.

Rozwiązanie.

Niech przekątne mają długości $d\ $ oraz $e\ $ a kąt ostry $|\angle{BAD}|=\alpha.$

Z twierdzenia cosinusów $e^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha\ $ oraz $d^2=a^2+b^2+2ab\cos\alpha\ $Stąd

$d^2-e^2=4ab\cos\alpha=\frac{4ab\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha}\ $ i $ab\sin\alpha=\frac{e^2-d^2}{4ctg\alpha}.\ $ Ostatecznie $$P=\frac{1}{4}(d^2-e^2) tg\alpha.$$

Zadanie 3.

Dwusieczne kątów równoległoboku przecinają się w czterech punktach. Wykaż, że są to wierzchołki prostokąta.

Rozwiązanie.

Niech półproste $AL,\ BN,\ CN,\ DL\ $ będą dwusiecznymi kątów równoległoboku przy wierzchołkach $A,B,C,D,\ $ (rys. 3). Punkty $K,L,M,N,\ $ to punkty przecięcia wymienionych dwusiecznych.

Niech miary kątów równoległoboku przy wierzchołkach A i B będą równe $\alpha\ $ i $\beta.$
Oczywiście $\alpha+\beta=180^0.\ |\angle{AKB}|=180^0-(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2})=180^0-90^0=90^0.\ $  Analogicznie wykazujemy, że pozostałe kąty czworokąta KLMN są proste. Czworokąt, którego wszystkie kąty są proste jest prostokątem.

Zadanie 4.

Dane są boki równoległoboku $a,\ b\ $oraz kąt między nimi zawarty $30^0.\ $Oblicz pole czworokąta, którego wierzchołkami są punkty przecięcia dwusiecznych kątów tego równoległoboku.

Zadanie 5.

Wykaż, że w równoległoboku suma kwadratów długości jego przekątnych jest równa sumie kwadratów długości wszystkich jego boków.