poniedziałek, 30 kwietnia 2012

Próbna matura z matematyki 2012 poz.rozsz.



Zadania przygotowane przez OKE w Poznaniu (styczeń 2012)

Zadanie 1.(4pkt)
Jednym z pierwiastków wielomianu $W(x)=x^3+mx^2+nx+2\ $ jest liczba 1. Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)\ $ przez dwumian $x+1\ $ jest równa 4. Oblicz współczynniki $m\ $ i $n\ .$

Zadanie 2.(4pkt)
Rozwiąż równanie $$cos^2x+sinxcos^2x=\frac{1+sinx}{4}\ $$ w przedziale $<0,2\pi>.$

Zadanie 3.(5pkt)
Uzasadnij, że    $61^{16}<18^{24}.$

Zadanie 4.(5pkt)
Kulę o promieniu R przecięto dwiema równoległymi płaszczyznami w sposób przedstawwiony na rysunku. Przekroje mają promienie  $r_1\ $ oraz $r_2\ $ i są odległe od siebie o $a.$ Liczby $r_1,a,r_2\ $ w podanej kolejności tworzą trzywyrazowy ciąg arytmetyczny, którego różnica jest równa 1. Suma wyrazów tego ciągu jest rowna 18. Znajdź długość promienia kuli.

PIC


Zadanie 5(5pkt)
Rozwiąż nierówność  $|2x-4|+4x>|2x^2-4|.\ $

Zadanie 6.(5pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m\ $, dla których jedno rozwiązanie równania $$(m+1)x^2+2mx+1=0$$jest sinusem, a drugie cosinusem tego samego kąta?

Zadanie 7.(4pkt)
W układzie współrzędnych przedstawiony jest wykres funkcji $y=f(x),$ gdzie $f(x)=log_a(x-k)+m.$ Wyznacz wartości $a,k,m.$

PIC


Zadanie 8.(4pkt)
Pole trójkąta $ABC\ $ o danych wierzchołkach $A=(1,-2)\ $ oraz $B=(2,3)\ $ jest równe 4,5. Wyznacz współrzędne trzeciego wierzchołka wiedząc, że należy on do prostej o równaniu $ x+y -2= 0. $ 
   
Zadanie 9.(6pkt)
Na bokach $AC$ i $BC$ trójkąta $ABC$ obrano punkty $P$ i $Q$ takie, że $|AP|:|PC|=2:1$ oraz $|BQ|:|QC|=2:1.$ Odcinki $AQ$ i $BP$ przecinają się w punkcie $R.$ Wykaż, że pole czworokąta $CPRQ$ jest równe polu trójkąta $ARP.$

Zadanie 10.(4pkt)
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątne ścian bocznych, wychodzące z tego samego wierzchołka, mają długość $d$ i tworzą kąt o mierze $\alpha.$ Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Zadanie 11.
Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch jedynek lub trzech szóstek w doświadczeniu losowym, polegającym na pięciokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry.

Odpowiedzi:

1. $m=o,\  n=-34$
2. {$\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{3}$}
3. Dowód
4. $R=5\sqrt{2}$
5. $(\frac{1-\sqrt{17}}{2},-1)\cup(0,3)$
6. $m=\frac{3+\sqrt{33}}{3}$
7. $a=3,\ k=-2,\ m=-1$
8. $C=(0,2)$  lub $C=(3,-1)$
9. Dowód
10.$d^3(1-cos\alpha)\sqrt{cos\alpha}$
11.$\frac{745}{3888}.$








Brak komentarzy:

Prześlij komentarz