Próbna matura z matematyki 2012 poz.rozsz.

Zadania przygotowane przez OKE w Poznaniu (styczeń 2012)

Zadanie 1.(4pkt)

Jednym z pierwiastków wielomianu $W(x)=x^3+mx^2+nx+2\ $ jest liczba 1. Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)\ $ przez dwumian $x+1\ $ jest równa 4. Oblicz współczynniki $m\ $ i $n\ .$

Zadanie 2.(4pkt)

Rozwiąż równanie $$cos^2x+sinxcos^2x=\frac{1+sinx}{4}\ $$ w przedziale $<0,2\pi>.$

Zadanie 3.(5pkt)

Uzasadnij, że    $61^{16}<18^{24}.$

Zadanie 4.(5pkt)

Kulę o promieniu R przecięto dwiema równoległymi płaszczyznami w sposób przedstawwiony na rysunku. Przekroje mają promienie  $r_1\ $ oraz $r_2\ $ i są odległe od siebie o $a.$ Liczby $r_1,a,r_2\ $ w podanej kolejności tworzą trzywyrazowy ciąg arytmetyczny, którego różnica jest równa 1. Suma wyrazów tego ciągu jest rowna 18. Znajdź długość promienia kuli.

Zadanie 5(5pkt)

Rozwiąż nierówność  $|2x-4|+4x>|2x^2-4|.\ $

Zadanie 6.(5pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m\ $, dla których jedno rozwiązanie równania $$(m+1)x^2+2mx+1=0$$ jest sinusem, a drugie cosinusem tego samego kąta?

Zadanie 7.(4pkt)

W układzie współrzędnych przedstawiony jest wykres funkcji $y=f(x),$ gdzie $f(x)=log_a(x-k)+m.$ Wyznacz wartości $a,k,m.$

Zadanie 8.(4pkt)

Pole trójkąta $ABC\ $ o danych wierzchołkach $A=(1,-2)\ $ oraz $B=(2,3)\ $ jest równe 4,5. Wyznacz współrzędne trzeciego wierzchołka wiedząc, że należy on do prostej o równaniu $x+y -2= 0.$ 

   

Zadanie 9.(6pkt)

Na bokach $AC$ i $BC$ trójkąta $ABC$ obrano punkty $P$ i $Q$ takie, że $|AP|:|PC|=2:1$ oraz $|BQ|:|QC|=2:1.$ Odcinki $AQ$ i $BP$ przecinają się w punkcie $R.$ Wykaż, że pole czworokąta $CPRQ$ jest równe polu trójkąta $ARP.$

Zadanie 10.(4pkt)

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątne ścian bocznych, wychodzące z tego samego wierzchołka, mają długość $d$ i tworzą kąt o mierze $\alpha.$ Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Zadanie 11.

Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch jedynek lub trzech szóstek w doświadczeniu losowym, polegającym na pięciokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry.

Odpowiedzi:

1. $m=o,\  n=-34$

2. {$\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{3}$}

3. Dowód

4. $R=5\sqrt{2}$

5. $(\frac{1-\sqrt{17}}{2},-1)\cup(0,3)$

6. $m=\frac{3+\sqrt{33}}{3}$

7. $a=3,\ k=-2,\ m=-1$

8. $C=(0,2)$  lub $C=(3,-1)$

9. Dowód

10.$d^3(1-cos\alpha)\sqrt{cos\alpha}$

11.$\frac{745}{3888}.$

Zadania maturalne 2011 poz. podst.

Zadania zamknięte

 Zadanie 1.(1 pkt)

 Wskaż nierówność, którą spełnia liczba $\pi.\ $

$A.\ |x+1|>5\quad  B.\ |x-1|<2\quad  C.\ |x+\frac{2}{3} |\leq4\quad D.\ |x-\frac{1}{3}|\geq3$

Zadanie 2.(1pkt)

Pierwsza rata, która stanowi $9%\ $ceny roweru, jest równa $189\ $zł. Rower kosztuje

$A.\ 1701\ $zł.         $B.\ 2100\ $zł.         $C.\ 1890\ $zł.         $D.\ 2091\ $zł.

Zadanie 3.(1pkt)

Wyrażenie  $5a^2-10ab+15a\ $ jest równe iloczynowi

$A.\ 5a^2(1-10b+3)\quad B.\ 5a(a-2b+3)\quad C.\ 5a(a-10b+15)\quad D.\ 5(a-2b+3)$

Zadanie 4.(1pkt)

Układ równań  $\left\{\begin{array}{cc}4x+2y=10 \\ 6x +ay=15\end{array}\right.\ $ ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli

$A.\ a=-1\qquad B.\ a=0\qquad C.\ a=2\qquad D.\ a=3\ $

Zadanie 5.(1pkt)

Rozwiązanie równania $x(x+3)-49=x(x-4)\ $ należy do przedziału

$A.\ (-\infty,3)\qquad B.\ (10,\infty)\qquad C.\ (-5,-1)\qquad D.\ (2,\infty)$

Zadanie 6.(1pkt)

Najmniejszą liczbą całkowitą należącą do zbioru rozwiązań nierówności $\frac{3}{8}+\frac{x}{6}<\frac{5x}{12}\ $ jest

$A.\ 1\qquad B.\ 2 \qquad C.\ -1 \qquad D.\ -2\qquad$

Zadanie 7.(1pkt)

Wskaż, który zbiór przedstawiony na osi liczbowej jest zbiorem liczb spełniających jednocześnie następujące nierówności: $3(x-1)(x-5) \leq0 \ $ i $x>1.$

Zadanie 8.(1pkt)

Wyrażenie $\log_4(2x-1)\ $jest określone dla wszystkich liczb $x\ $ spełniających warunek

$A.\ x \leq \frac{1}{2}\qquad B.\ x>\frac{1}{2} \qquad C.\ x \leq \frac{1}{2}\qquad D.\ x>0$

Zadanie 9.(1pkt)

Dane są funkcje liniowe $f(x)=x-2\ $ oraz $g(x)=x+4\ $ określone dla wszystkich liczb rzeczywistych $x.$ Wskaż, który z poniższych wykresów jest wykresem funkcji $h(x)=f(x)\cdot g(x).$

Zadanie 10.(1pkt)

Funkcja liniowa określona jest wzorem $f(x)=-\sqrt{2}x+4.$ Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba

$A.\ -2\sqrt{2} \qquad B.\ \frac{\sqrt{2}}{2} \qquad C.\ -\frac{\sqrt{2}}{2} \qquad D.\ 2\sqrt{2}$

Zadanie 11.(1pkt)

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)\ $, w którym $a_3=1\ $ i $a_4=\frac{2}{3}.$ Wtedy

$A.\ a_1=\frac{2}{3}\qquad B.\ a_1=\frac{4}{9}\qquad C,\ a_1=\frac{3}{2}\qquad D.\ a_1=\frac{9}{4}$

Zadanie 12.(1pkt)

Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny $9a_n)\ $ o wyrazach dodatnich. Wtedy

$A.\ a_4+a_7=a_{10}\qquad B.\ a_4+a_6=a_3+a_8\qquad C.\ a_2+a_9=a_3+a_8\qquad D.\ a_5+a_7=2a_8$

Zadanie 13.(1pkt)

Kąt $\alpha\ $ jest ostry i $cos\alpha=\frac{5}{13}.$ Wtedy

$A.\ sin\alpha=\frac{12}{13}\ $ oraz $tg\alpha=\frac{12}{5}\qquad B.\ sin\alpha=\frac{12}{13}\ $ oraz $tg\alpha=\frac{5}{12}\ $  $\qquad C.\  sin\alpha=\frac{12}{5}\ $ oraz $tg\alpha=\frac{12}{13}\qquad D.\ sin\alpha=\frac{5}{12}\ $ oraz $tg\alpha=\frac{12}{13}$

Zadanie 14.(1pkt)

Wartość wyrażenia $$\frac{\sin^2{38^o}+\cos^2{38^o}-1}{\sin^2{52^o}+\cos^2{52^o}+1}\ $$ jest rówwna

$A.\ \frac{1}{2} \qquad B.\ 0 \qquad C.\ -\frac{1}{2} \qquad D.\ 1$

Zadanie 15.(1pkt)

W prostopadłościanie $ABCDEFGH\ $ mamy: $|AB|=5,\ |AD|=4,\ |AE|=3.\ $ Który z odcinków $AB,\ BG,\ GE,\ EB\ $ jest najdłuższy?

$A.\ AB \qquad B.\ BG \qquad C.\ GE \qquad D.\ EB$

Zadanie 16.(1pkt)

Punkt $O\ $ jest środkiem okręgu. Kąt wpisany $\alpha\ $ ma miarę

$A.\ 80^o\qquad B.\ 100^o \qquad C.\ 110^o \qquad D.\ 120^o$

Zadanie 17.(1pkt)

Wysokość rombu o boku długości $6\ $ i kącie ostrym $60^o\ $ jest równa

$A.\ 3\sqrt3 \qquad B.\ 3 \qquad C.\ 6\sqrt3 \qquad D\ 6$

Zadanie 18. (1 pkt)

Prosta  k ma równanie  y = 2x − 3 . Wskaż równanie prostej  l równoległej do prostej
 k i  przechodzącej przez punkt D o współrzędnych (−2,1) .

A.  y = − 2x +  3        B.  y =  2x + 1       C.  y = 2 x + 5       D.  y = −x  + 1

Zadanie 19. (1 pkt)

Styczną do okręgu $(x −1)^2 + y^ 2  −  4 = 0$  jest prosta o równaniu

A. x =1     B. x = 3     C. y = 0     D.  y = 4

Zadanie 20. (1 pkt)

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 54. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

A. $\sqrt6\ $       B. 3      C. 9      D.  $3\sqrt3$

Zadanie 21. (1 pkt)

Objętość stożka o wysokości 8 i średnicy podstawy 12 jest równa

A. 124π      B.  96π      C. 64π      D.  32π

Zadanie 22. (1 pkt)

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania
sumy oczek równej trzy wynosi

$A.\  \frac{1}{6} \qquad B.\ \frac{1}{9} \qquad C.\  \frac{1}{12} \qquad D.\  \frac{1}{18}$

Zadanie 23. (1 pkt)

 Uczniowie pewnej klasy zostali poproszeni o odpowiedź na pytanie: „Ile osób liczy twoja rodzina?”



 Wyniki przedstawiono w tabeli:

Średnia liczba osób w rodzinie dla uczniów tej klasy jest równa 4. Wtedy liczba x jest równa

A. 3       B. 4       C.  5         D.  7

ZADANIA OTWARTE

Zadanie 24. (2 pkt)

 Rozwiąż nierówność   $3x^2-10x+3\leq0.$


Zadanie 25. (2 pkt) 
Uzasadnij, że jeżeli $a+b=1\ $ i $a^2+b^2=7\ $,to $a^4+b^4=31.$ 

Zadanie 26. (2 pkt)

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f. 
Odczytaj z wykresu i zapisz: 

a) zbiór wartości funkcji f, 
b) przedział maksymalnej długości, w którym funkcja  f  jest malejąca. 

Zadanie 27. (2 pkt)

Liczby   x,  y, 19  w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym  x+ y  =  8.
Oblicz  x i y.

Zadanie 28. (2 pkt)

Kąt α jest ostry i $$\frac{sin\alpha}{cos\alpha}+\frac{cos\alpha}{sin\alpha}=2.$$
Oblicz wartość wyrażenia $sin\alpha \cdot cos\alpha.$

Zadanie 29. (2 pkt)

Dany jest czworokąt  ABCD, w którym  AB||CD . Na boku  BC  wybrano taki punkt  E,
że  |EC| = |CD| i  |EB| = |BA| . Wykaż, że kąt AED jest prosty.

Zadanie 30. (2 pkt)

Ze zbioru liczb{1,2,3,...,7 }  losujemy kolejno dwa razy po  jednej liczbie ze zwracaniem.
Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest podzielna przez 3.

Zadanie 31. (4 pkt)

Okrąg o środku w punkcie  S = (3,7) jest styczny do prostej o równaniu  y= 2x −3. Oblicz
współrzędne punktu styczności.

Zadanie 32. (5 pkt)

Pewien turysta pokonał trasę 112 km, przechodząc każdego dnia tę samą liczbę kilometrów.
Gdyby mógł przeznaczyć na tę  wędrówkę o 3 dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby
przechodzić o 12 km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta.

Zadanie 33. (4 pkt)

Punkty  K, L  i  M  są środkami krawędzi  BC, GH i  AE sześcianu  ABCDEFGH o krawędzi
długości 1 (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta KLM.

 Odpowiedzi:

 1 | 2 | 3  | 4 | 5  | 6  | 7  | 8 |  9 |10 | 11| 12| 13|14| 15| 16|17 |18| 19|20 |21|22 |23
C | B | A | D | D | B | C | B | A | D | D  | C | A | B | C | B | A | C | B | D | B | D | D
24.    $<\frac{1}{3},3>$
25.    Dowód
26.    <-2,3>,  <-2,2>
27.    x = -1, y = 9
28.    0,5
29.    Dowód
30.    $\frac{16}{49}$
31.    $(\frac{23}{5}, \frac{31}{5})$
32.    28 km
33.    $\frac{3\sqrt{3}}{8}.$

Zadania maturalne 2011 poz. rozsz.

Zadanie 1. (4 pkt)

Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej  $k$ liczba  $k^6 − 2k^4 + k^2$ jest podzielna przez $36.$

Zadanie 2. (4 pkt)

Uzasadnij, że jeżeli $a\neq b,\ a\neq c,\ b\neq c\ $ i $a+b=2c$, to $\frac{a}{a-b}+\frac{b}{b-c}=2.$

Zadanie 3. (6 pkt)

Wyznacz   wszystkie   wartości   parametru   $m$ ,   dla   których   równanie   $x^2-4mx-m^3+6m^2+m-2=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1,\ x_2$ takie, że $(x_1-x_2)^2<8(m+1).$

Zadanie 4. (4 pkt)

Rozwiąż równanie  $2sin ^ 2x-2sin ^2xcosx=1- cos x$  w przedziale  $<0,\ 2\pi>.$

Zadanie 5. (4 pkt)

O ciągu $( x_n)$ dla  $n ≥1$ wiadomo, że:
a) ciąg $(a_n )$  określony wzorem $a_n=3^{x_n}$ dla  $n ≥1$  jest geometryczny o ilorazie  $q = 27.$
b) $x_1+x_2+\ ...\ +x_{10}=145.$
Oblicz $x_1.$

 Zadanie 6. (4 pkt)

Podstawa $AB$ trójkąta równoramiennego  $ABC$ ma długość $8$ oraz  $|\angle BAC| = 30 °.$ Oblicz długość środkowej $AD$ tego trójkąta.

Zadanie 7. (4 pkt)

Oblicz miarę  kąta między stycznymi do okręgu  $x^2+y^2+2x-2y-3=0$ poprowadzonymi przez punkt $A = (2,0).$ 

Zadanie 8. (4 pkt)

Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, w których suma długości
wszystkich krawędzi jest równa 24, jest taki, który ma największe pole powierzchni bocznej.
Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.



. Zadanie 9. (4 pkt)
Oblicz, ile jest liczb ośmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, natomiast
występują dwie dwójki i występują trzy trójki.

Zadanie 10. (3 pkt)

Dany jest czworokąt wypukły  $ABCD$  niebędący równoległobokiem. Punkty  $M,  N$  są
odpowiednio środkami boków $AB$ i $CD.$  Punkty $P, Q$  są odpowiednio środkami przekątnych
$AC$ i $BD.$  Uzasadnij, że $MQ\parallel PN.$

Zadanie 11. (6 pkt)

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny  $ABCDS$ o podstawie  $ABCD.$ W trójkącie
równoramiennym  $ASC$ stosunek długości podstawy do długości ramienia jest równy
$|AC|: |AS| = 6 : 5.$ Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

 Zadanie 12. (3 pkt)

$A, B$  są zdarzeniami losowymi zawartymi w  $Ω .$ Wykaż, że jeżeli  $P(A) = 0,9$ i  $P(B) = 0,7 ,$ to  $P(A∩B')  ≤  0,3$  ($B'$ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia$B$).

 Odpowiedzi:

 1.  Dowód,
 2.  Dowód,
 3.  $m\in(0,1)\cup(2,3)$,
 4.  $x\in\{0,\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4},2\pi\}$,
 5.  $x_1=1$,
 6.  $|AD|=\frac{4\sqrt{21}}{3}$,
 7.  $|\angle{BAC}|=90^0$,
 8.  $a=1$,
 9.  $192080$,
10. Dowód,
11.$sin\alpha=\frac{4\sqrt{82}}{41}$,
12. Dowód.

Zadania maturalne 2010 poz. podst.

Poziom podstawowy

ZADANIA ZAMKNIĘTE

Zadanie 1. (1 pkt)

Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności $|x +7| >5.$

Zadanie 2. (1 pkt)

Spodnie po obniżce ceny o 30% kosztują 126 zł. Ile kosztowały spodnie przed obniżką?

A.  163,80 zł      B.  180 zł      C.   294 zł      D.   420 zł

Zadanie 3. (1 pkt)

Liczba  $(\frac{2^{-2}\cdot3^{-1}}{2^{-1}\cdot3^{_2}})^0$  jest równa

A.   1       B.   4       C.   9       D.    36

Zadanie 4. (1 pkt)

Liczba  $\log_4{8}+  log_4 2$ jest równa

A.   1       B.  2       C.   $\log_4{6}$     D.    $\log_4{10}$

Zadanie 5. (1 pkt)

Dane są wielomiany  $W(x)= -2x^3+5x^2-3$ oraz $P(x)=2x^3+12x.$ Wielomian  $W(x)+P(x)$ jest równy

A.  $5x^2+12x-3$
B.  $4x^3+5x^2+12x-3$
C.  $4x^6+5x^2+12x-3$
D.  $4x^3+12x-3$

Zadanie 6. (1 pkt)

Rozwiązaniem równania  $\frac{3x-1}{7x+1}=\frac{2}{5}$  jest

A.   1       B.   $\frac{7}{3}$      C.   $\frac{4}{3}$      D.   7

Zadanie 7. (1 pkt)

Do zbioru rozwiązań nierówności $(x− 2) ( x  +3 ) <  0$  należy liczba

 A.    9        B.   7        C.   4        D.   1

Zadanie 8. (1 pkt)

Wykresem funkcji kwadratowej $f ( x )  = −3x ^2 + 3$  jest parabola o wierzchołku w punkcie

A.   (  3, 0)      B.   (0,3 )      C.   (−3, 0)     D  .  ( 0,-3)

Zadanie 9. (1 pkt)

Prosta o równaniu  $y=- x+(3m+3)$ przecina w układzie współrzędnych oś Oy w punkcie
( 0, 2 ) . Wtedy

A.   $m=-\frac{2}{3}$      B.   $m=-\frac{1}{3}$      C.   $m=\frac{1}{3}$     D.     $m=\frac{5}{3}$

Zadanie 10. (1 pkt)

Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji  y = f (x) .

Które równanie ma dokładnie trzy rozwiązania?

A.   f(x) = 0     B.   f(x) = 1     C.   f(x) = 2     D.   f(x) = 3

Zadanie 11. (1 pkt)

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$ dane są: $a_3 =13$  i  $a_5 = 39 .$ Wtedy wyraz $a_ 1$  jest równy

A.    13       B.    0       C.    −13      D.    −26

Zadanie 12. (1 pkt)

W ciągu geometrycznym ( an ) dane są: $a_1 = 3$  i  $a_4=24.$  Iloraz tego ciągu jest równy

A.    8        B.    2        C.   $\frac{1}{8}$       D.    $-\frac{1}{2}$  

Zadanie 13. (1 pkt)

Liczba przekątnych siedmiokąta foremnego jest równa

A.     7       B.    14       C.    21       D.     28

Zadanie 14. (1 pkt)

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin\alpha=\frac{3}{4}.$ Wartość wtrażenia $2-(\cos\alpha)^2$ jest równa

A.   $\frac{25}{16}$     B.   $\frac{3}{2}$     C.   $\frac{17}{16}$     D.   $\frac{31}{16}$

Zadanie 15. (1 pkt)

Okrąg opisany na kwadracie ma promień 4. Długość boku tego kwadratu jest równa

A.   $4\sqrt{2}$       B.   $2\sqrt{2}$       C.   8        D.   4

Zadanie 16. (1 pkt)

Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość 6, a ramię ma długość 5. Wysokość
opuszczona na podstawę ma długość

A.    3       B.    4       C.   $\sqrt{ 34}$       D.   $\sqrt{61 }$

Zadanie 17. (1 pkt)

Odcinki AB i  DE  są równoległe. Długości odcinków CD,  DE i AB  są odpowiednio równe
1, 3 i  9. Długość odcinka AD jest równa

A.    2        B.    3        C.    5        D.    6

Zadanie 18. (1 pkt)

Punkty A, B, C leżące na okręgu o środku S są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Miara
zaznaczonego na rysunku kąta środkowego ASB jest równa

A.   120°      B.   90°      C.   60°      D.    30°

Zadanie 19. (1 pkt)

Latawiec ma wymiary podane na rysunku. Powierzchnia
zacieniowanego trójkąta jest równa

A.   3200 $cm^2$

B.   6400 $cm^2$

C.   1600 $cm^2$

D.    800 $cm^2$

Zadanie 20. (1 pkt)

Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o równaniu   y = −3x +5 jest równy:

A.    $-\frac{1}{3}$       B.  $-3$      C.   $\frac{1}{3}$        D.   3


 Zadanie 21. (1 pkt)
Wskaż równanie okręgu o promieniu 6.

A.  $^2+y^2=3$     B.  $x^2+y^2=6$     C.  $x^2+y^2=12$     D.  $x^2+y^2=36$

Zadanie 22. (1 pkt)

Punkty  A = (−5, 2 )  i  B = ( 3, − 2 ) są wierzchołkami trójkąta równobocznego  ABC. Obwód
tego trójkąta jest równy

A.   30      B.   4$\sqrt5$      C.   12$\sqrt5$      D.   36



 Zadanie 23. (1 pkt)
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach 5 × 3 ×  4  jest równe
A.   94      B.   60      C.   47      D.    20

Zadanie 24. (1 pkt)

Ostrosłup ma 18 wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa
A.    11       B.   18       C.   27       D.   34

Zadanie 25. (1 pkt)

Średnia arytmetyczna dziesięciu liczb  x, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 5 jest równa 3. Wtedy
A.    x = 2      B.    x = 3      C.    x = 4      D.    x = 5

ZADANIA OTWARTE

Zadanie 26. (2 pkt)

Rozwiąż nierówność

$x^2- x -2 ≤  0 .$

Zadanie 27. (2 pkt)

Rozwiąż równanie $x^3-7x^2-4x+28=0.$

Zadanie 28. (2 pkt)

Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE  są położone tak, jak na poniższym rysunku
(w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty). Wykaż, że  |AD| = |BE|  .

Zadanie 29. (2 pkt)

Kąt $\alpha$ jest ostry i  $tg\alpha=\frac{5}{12}.$ Oblicz $\cos\alpha.$

 Zadanie 30. (2 pkt)

Wykaż, że jeśli  a > 0 , to $\frac{a^2+1}{a+1}\ge\frac{a+1}{2}.$

Zadanie 31. (2 pkt)

W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt
równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 6. Oblicz obwód tego trapezu.

Zadanie 32. (4 pkt)

Podstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt ABC. Krawędź AD jest wysokością ostrosłupa (zobacz
rysunek). Oblicz objętość ostrosłupa  ABCD, jeśli wiadomo,  że  |AD| =12 ,  |BC| = 6 ,
|BD| = |CD|  = 13.

Zadanie 33. (4 pkt)

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia  A polegającego na tym,  że w pierwszym rzucie
otrzymamy parzystą liczbę oczek i iloczyn liczb oczek w obu rzutach będzie podzielny przez 12.
Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Zadanie 34. (5 pkt)

W dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu
ma powierzchnię 240$m^2.$  Basen w drugim hotelu ma powierzchnię 350 $m^2$, oraz jest o 5 m
dłuższy i 2 m szerszy niż w pierwszym hotelu. Oblicz, jakie wymiary mogą mieć baseny w obu hotelach. Podaj wszystkie możliwe odpowiedzi.

Odpowiedzi:

1. C         6.  D       11.  C       16.  B       21.  D
2. B         7.  D       12.  B       17.  A       22.  C
3. A         8.  B       13.  B       18.  A       23.  A
4. B         9.  B       14.  A       19.  C       24.  D 
5. A        10.  C       15.  A       20.  B      25.  D

26.  $x\in<-3,1>$    27. $x=-2\vee\ x=2\vee\ x=7$    28.  Wskazówka: trójkąty ADC i BEC są przystające
29.  $\cos\alpha=\frac{12}{13}$    30.  Dowód    31.  $15+3\sqrt{3}$    32.  48    33.  $P=\frac{1}{6}$
34.  12m x 20m i 14m x 25m  lub  8m x 30m i 10m x 35m.

Zadania maturalne 2010 poz. rozsz.

Poziom rozszerzony

Zadanie 1. (4 pkt)

Rozwiąż nierówność $|2x+4|+|x-1|\leq6.$

Zadanie 2. (4 pkt)

Wyznacz wszystkie rozwiązania równania
 $2\cos^2{x}-5\sin{x}-4=0$ dla $\ x\in<o,2\pi>.$

Zadanie 3. (4 pkt)

Bok kwadratu $ABCD$ ma długość $1.$ Na bokach $BC$ i $CD$ wybrano odpowiednio punkty $E$ i $F$
umieszczone tak, by $|CE|=2|DF|.$  Oblicz wartość  $x = | DF|$ , dla której pole trójkąta $AEF$
jest najmniejsze.

Zadanie 4. (4 pkt)

Wyznacz wartości  $a$ i  $b$ współczynników wielomianu   $W (x)=x^3+ax+ bx^2+1$  wiedząc,
że   $W ( 2) =7$  oraz, że reszta z dzielenia $W(x )$  przez $( x − 3)$ jest równa $10.$

Zadanie 5. (5 pkt)

O liczbach  $a,  b,  c$ wiemy,  że ciąg  $(a, b, c )$ jest arytmetyczny i  $a + c  =10$ , zaś ciąg
$( a + 1, b + 4, c + 19)$  jest geometryczny. Wyznacz te liczby.

Zadanie 6. (5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru  $m$, dla których równanie $x^2 + mx +2 =  0$  ma dwaróżne pierwiastki rzeczywiste takie, że suma ich kwadratów jest większa od $2m^2 −13 .$

Zadanie 7. (6 pkt)

Punkt $A = (− 2 ,5)$  jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego  $ABC$, w którym
$|AC |= |BC | .$    Pole tego trójkąta jest równe $15.$ Bok $BC$ jest zawarty w prostej o równaniu
$y= x  +1.$ Oblicz współrzędne wierzchołka $C.$

Zadanie 8. (5 pkt)

Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji  $f (x )=\frac{1}{x^2}.$

Przeprowadzono prostą równoległą do osi $Ox$ , która przecięła wykres tej funkcji w punktach $A$ i $B.$  Niech $C = − (3, 1) .$ Wykaż, że pole trójkąta $ABC$ jest większe lub równe $2.$ 

Zadanie 9. (4 pkt)

Na bokach $BC$ i $CD$ równoległoboku $ABCD$ zbudowano kwadraty $CDEF$ i $BCGH$ (zobacz
rysunek). Udowodnij, że  $AC = FG .$

Zadanie 10. (4 pkt)

Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w trzech rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry suma kwadratów liczb uzyskanych oczek będzie podzielna przez 3.

Zadanie 11. (5 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość $a.$ Ściany boczne są trójkątami ostrokątnymi. Miara kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi jest równa  $2\alpha .$
Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

Odpowiedzi:

1.  $<-3,1>$    2.  $x=\frac{7\pi}{6}\vee\ x=\frac{11\pi}{6}$    3.  $x=\frac{1}{4}$    4.  a = - 5 i b = 9
5.  (26, 5, - 16) lub (2, 5, 8)    6.$m\in(-3,-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2,3)$    7.  C(- 3, - 2) lub C(5, 6)    8.  Dowód    9.  Dowód    10.  $\frac{1}{3}$    11.  $V=\frac{a^3\cos\alpha}{12\sqrt{4(\sin\alpha)^2-1}}.$