Sentencje, opinie, powiedzenia

 Matematyka jest alfabetem, za pomocą którego Bóg opisał wszechświat.

                                                                                                                 Galileusz


   Tyle jest w każdym poznaniu nauki, ile jest w nim matematyki.

                                                                                                   Imanuel Kant


   Matematyka zawiera w sobie nie tylko prawdę, ale i najwyższe piękno - piękno chłodne i surowe, podobne do piękna rzeźby.

                                                        Bertrand Russell


   Bóg jest matematykiem.

                                         Jan Kepler


   Czysta matematyka to poezja logicznego myślenia.

                                                                                 Albert Einstein


   Matematyka jest jak Sąd Najwyższy.Od jej decyzji nie ma odwołania.
                                                                                                               Tobias Dantzig


   Między duchem i materią pośredniczy matematyka.

                                                                                    Hugo Steinhas

Kwadratura koła, ...

   Antyczni mędrcy obok wielu wspaniałych osiągnięć przekazali potomnym trzy problemy, których nie potrafili rozwiązać. Są to zagadnienia znane pod określeniami: kwadratury koła, podwojenia sześcianu i trysekcji kąta.

    1. Kwadratura koła

    Problem kwadratury koła sprowadza się do rozwiązania zadania: Dane jest koło o promieniu r. Zbudować kwadrat o boku a, którego pole jest równe polu danego koła  $a^2=\pi{r^2}$.Należy kreśląc proste lub okręgi zbudować odcinek $a=r\sqrt{\pi}$.

    Zagadnieniem tym zajmował się już w drugim tysiącleciu p.n.e. pisarz faraona Amenemhata III. Twierdził, że kwadrat o boku równym  $\frac{8}{9}$ średnicy koła ma pole równe polu tego koła.Czyli, że                        
$(\frac{16}{9}r)^2=\pi r^2$, stąd $\pi=\frac{256}{81}$ = 3,160... .Lecz $\pi$ = 3,14159... . Zatem błąd jest już na drugim miejscu po przecinku.
    Nie potrafili uporać się z tym problemem także greccy filozofowie i matematycy - wśród nich Archimedes (287 - 212 r. p.n.e.). Archimedes wpisał w koło i opisał na nim sześciokąt foremny i dziewięciokrotnie podwajał liczbę jego boków. Następnie zamienił ten wielokąt na kwadrat. Otrzymana w ten sposób wartość dla $\pi$ była równa $3\frac{1}{7}$ albo $3\frac{10}{71}$. To jedno z najlepszych przybliżeń liczby $\pi$.
    W późniejszych wiekach tym zagadnieniem zajmowali się miedzy innymi Fibonacci (XIIIw.), Viete (XVIw.), Leibniz (XVIIw.), Euler (XVIIIw.). Wśród nich najprostrzą "kwadraturę" podał polski matematyk A. Kochański (1631 - 1700).

    Dopiero w 1882 r. Lindemann dowiódł, że liczba $\pi$ jest przestępna. Zapadło ostateczne rozstrzygnięcie. Kreśląc proste i okręgi nie da się zbudować odcinka długości $\pi$.

    2.Podwojenie sześcianu (zadanie delijskie)

  Według starożytnej helleńskiej legendy na wyspie Delos panowała dżuma - "czarna śmierć".Przerażeni mieszkańcy wyspy udali się do świątyni boga Apolla błagać o ratunek. Apollo obiecał pomoc ale zażądał od mieszkańców wyspy podwojenia ofiarnego ołtarza w świątyni w Delos nie zmieniając jego kształtu. Ołtarz miał kształt sześcianu.
    Niech a będzie długością krawędzi sześcianu, natomiast x długością krawędzi sześcianu podwojonego.
Ma być $x^3=2a^3$, stąd $x=a\sqrt[3]{2}$.

Jeśli przyjmiemy a = 1 problem sprowadzi się do zbudowania odcinka długości $\sqrt[3]{2}$. Jest to liczba algebraiczna stopnia 3.Według teorii konstrukcja tej liczby przy użyciu "cyrkla i linijki"  nie jest możliwa.

   3.Trysekcja kąta

   Trysekcja kąta to problem podziału kąta na trzy równe części przy użyciu cyrkla i linijki. W przypadku ogólnym taka konstrukcja jest niewykonalna. Udowodnił to w 1837 r. P. Wantzel. Niektóre kąty np. $90^0$ łatwo podzielić na trzy równe katy.Jeżeli użyjemy innych przyrządów, np. linijki z dwoma zaznaczonymi punktami, to podział kąta ostrego na trzy równe części będzie możliwy.
   Weźmy cyrkiel i linijkę z zaznaczonymi dwoma punktami X i Y.Zakreślmy okrąg o środku O i promieniu r = |XY|, gdzie O jest wierzchołkiem kąta $\alpha$ = $\angle$AOB, A i B to punkty wspólne okręgu i ramion kąta $\alpha$. Nakreślmy prostą OA i prostą l przechodzącą przez punkt B tak, aby punkt X należał do prostej OA i punkt Y należał do okręgu. Szukanym katem jest $\angle$AXB.

    

Liczby algebraiczne i przestępne

   Liczbą algebraiczną nazywamy liczbę, która jest pierwiastkiem niezerowego wielomianu o współczynnikach całkowitych.
   Liczbę, która nie jest liczbą algebraiczną nazywamy liczbą przestępną.
   Interesującą historię i duże znaczenie w matematyce mają  trzy liczby: oznaczone greckimi literami $\pi$, $\phi$ oraz literą e.
 

   1. Liczba $\pi$ (ludolfina).

Liczba ta  zawdzięcza swoją nazwę hol. matematykowi Ludolfowi van Ceulen (1540 - 1610), który obliczył jej przybliżoną wartość z dokładnością 35 cyfr po przecinku.
   Liczba $\pi$ jest to stała matematyczna wyrażająca stosunek długości okręgu do jego średnicy.
   Symbol $\pi$ wprowadził ang. matematyk W. Jones w 1706 r. a spopularyzował go szwajc. matematyk L. Euler. Liczba $\pi$ jest niewymierna. Niem. matematyk F. Lindemann wykazał w 1882 r., że liczba $\pi$ jest przestępna. Tym samym udowodnił nierozwiązalność słynnego w starożytności zagadnienia kwadratury koła.


    2. Liczba $\phi$ (złota liczba).

                 A_______________C__________B

   Punkt C dzieli odcinek AB w stosunku złotym, jeżeli  |AC| : |CB| = |AB| : |AC|.
Złoty podział (łac. sectio aurea) jest nazywany też podziałem harmonicznym, złotą proporcją, boską proporcją (łac. divina proportio).
Niech |AC| = a, |CB| = b wówczas $\phi = \frac{a}{b} = \frac{a+b}{a}$ stąd $\phi = \frac{\phi + 1}{\phi}$(*) czyli $\phi^2 - \phi - 1 = 0   i   \phi = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,61803398...$.
Z równości (*) wynikają zależności:
   $\frac{1}{\phi} = \phi - 1 \approx 0,61803398...  oraz   \phi^2 = \phi + 1 \approx 2,61803398...$.
Starożytni Grecy uważali złoty podział za idealną proporcję i stosowali go w architekturze i sztuce. Stosowali go architekci przy budowie świątyni Parthenon na Akropolu czy genialny rzeźbiarz starożytności Fidiasz w swoich dziełach. Godłem Pitagorejczyków była pięcioramienna gwiazda. W pięciokącie foremnym przekątne dzielą się w złotym stosunku.

   
 Zadania

   Oblicz: 1.  $\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}$  oraz   2.  $\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+...}}}$ 
   Rozwiązanie zad. 1.

Niech $\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}$ = x, gdzie x > 0. Po podstawieniu i podniesieniu obu stron do kwadratu otrzymamy $x^2$ - x - 1 = 0. Stąd x = $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ = $\phi$. Podobnie można rozwiązać zadanie drugie.


   3.Liczba e (l. Nepera, l. Eulera

  $$e =\lim_{n\to\infty}(1 + \frac{1}{n})^n$$ lub $$e = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!}$$

Przybliżoną wartość l. e obliczył w 1728 r. szwajc. matematyk D. Bernoulli. e = 2,718281828.... Liczba e jest przestępna. Wykazał to w 1873 r. matematyk franc. Ch. Hermite. L. e ma duże zastosowanie w matematyce: jest podstawą logarytmów naturalnych $lnx=lg_ex$, jest podstawą funkcji wykładniczej $$e^x=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{x}{n})^n=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}$$

 

         

Średnie w matematyce

   Średnia S charakteryzująca liczby ${a_1,a_2,...,a_n}$ jest zawarta między najmniejszą a największą z danych liczb czyli
min{${a_1,a_2,...,a_n}$} $\leq$ S $\leq$ max{${a_1,a_2,...,a_n}$}. Najczęściej stosuje się średnią arytmetyczną, średnią geometryczną (proporcjonalną), i średnią harmoniczną.

   1. Średnia arytmetyczna

$$S_a =\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$$.

   2. Średnia geometryczna liczb dodatnich

$$S_g = \sqrt[n]{a_1a_2  ...  a_n}$$.

   3. Średnia harmoniczna liczb dodatnich

$$S_h = \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}$$.

Średnie spełniają warunki:

$$S_h \leq S_g \leq S_a$$.

   W przypadku dwóch liczb np. a i b średnie $S_a = \frac{a+b}{2}$, $S_g = \sqrt{ab}$, $S_h =\frac{2ab}{a+b}$  mają prostą interpretację geometryczną:
   - w trapezie odcinek łączący środki jego ramion jest średnią arytmetyczną jego podstaw,
   - odcinek równoległy do podstaw przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych trapezu jest średnią harmoniczną jego podstaw,

 

  - w trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego jest średnią geometryczną odcinków na jakie dzieli przeciwprostokątną.

   $$e=\frac{a+b}{2}, \qquad  f=\frac{2ab}{a+b}, \qquad  h=\sqrt{pq}$$.

Zadanie

Kierowca przebył drogę z A do B z przeciętną prędkością $v_1$ = 75km/h, a z powrotem z B do A z prędkością $v_2$ = 25km/h. Oblicz średnią prędkość jazdy kierowcy na trasie A - B - A.
Wydaje się, że średnią prędkością będzie średnia arytmetyczna prędkości $v = \frac{v_1+v_2}{2}$ = 50km/h. Tak jednak nie jest. Zróbmy dokładne obliczenia :
Niech odległość z A do B wynosi s km. Wówczas $t_1$ = s/$v_1$ i $t_2$ = s/$v_2$. Są to czasy jazdy kierowcy z A do B oraz z B do A. Łączny czas jazdy to t = $t_1+t_2$ = s/$v_1$+s/$v_2$ = s($v_1+v_2$)/$v_1v_2$.
Stąd v = 2s/t = $\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$. Po podstawieniu danych otrzymujemy v = 37,5km/h.
Jak widać średnia prędkość jest średnią harmoniczną danych prędkości.
   Ten sposób rozumowania można uogólnić.

Trochę o liczbach

     Powiedzenie "liczby całkowite stworzył dobry Bóg pozostałe są dziełem ludzi"podobno pochodzi od niemieckiego matematyka L. Kroneckera (1823 - 1891). Jednym z tych ludzi był grecki filozof Pitagoras.  
     Dzięki odkryciu twierdzenia o kwadracie przeciwprostokątnej  trójkąta prostokątnego, które obecnie znamy jako twierdzenie Pitagorasa, wykazał  istnienie dotychczas nie znanych liczb.
     Pojęcie liczby u Greków było utożsamiane z liczbą całkowitą dodatnią lub ułamkiem postaci $\frac{p}{q}$, gdzie p,q są liczbami całkowitymi dodatnimi.
     Powstał problem: "każdej liczbie odpowiada odcinek, dla którego ta liczba jest jego długością, lecz nie dla każdego odcinka istnieje liczba która jest jego długością".

Takim odcinkiem jest np. przekątna kwadratu o boku 1. Niech d będzie długością przekątnej tego kwadratu. Wówczas
     $d^2$ = $1^2$ + $1^2$ czyli $d^2$ = 2, ponieważ 1 < d < 2 bo $1^2$ = 1 i $2^2$ = 4 zatem d nie jest liczbą całkowitą. Znajdywano coraz lepsze przybliżenia liczby d: $\frac{4}{3}$ < d < $\frac{17}{12}$ bo

     $\frac{16}{9}$ < $d^2$ < $\frac{289}{144}$ i.t.d. .

Mimo wysiłków nie znaleziono ułamka, którego kwadrat równałby się liczbie 2. Zrodziło się pytanie.Czy taki ułamek istnieje?
     Odpowiedź na to pytanie dał następujący tok rozumowania:
     Załóżmy, że istnieje nieskracalny ułamek $\frac{p}{q}$ gdzie p, q to liczby całkowite dodatnie, takie że kwadrat tego ułamka jest równy 2 czyli $p^2$ = 2$q^2$. Z tej równości wynika, że p dzieli się przez 2 i q dzieli się przez 2. Jest to sprzeczne z założeniem, że liczby p i q są względnie pierwsze. Sprzeczność jest skutkiem fałszywego założenia, że istnieje nieskracalny ułamek $\frac{p}{q}$, którego kwadrat jest równy 2.
     Ten rodzaj dowodu nosi nazwę sprowadzania do absurdu (łac. reductio ad absurdum).

     Dowód, że długości przekątnej kwadratu o boku 1 nie da się wyrazić dotychczas znanymi liczbami pojawił się pod koniec V wieku p.n.e., gdyż wiadomo,że nauczyciel Platona Teodor z Cyreny (V - IV w.p.n.e.) wykazał niewymierność liczb: $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$, czy $\sqrt{17}$.

   

Ciekawostki

1. Ile to jest

$\sqrt{12345678987654321}$ ?

Rozważ kwadraty liczb: 11, 111, 1111, ... .

$\sqrt{121}=11$, $\sqrt{12321}=111$, ...

2. Wdowi grosz

Przypowieść biblijna wspomina o wdowie, która swój ostatni grosz przekazała na jałmużnę.
Dla uproszczenia przyjmijmy, że działo się to w 12 roku n.e. Pogdybajmy. Gdyby wówczas
istniały banki, gdyby oprocentowanie wkładów w stosunku rocznym wynosiło 5%, gdyby
wdowa wpłaciła ten grosz do banku na podanych warunkach, gdyby warunki nie zmieniły się
do naszych czasów, to jej pra, pra, pra, ..., pra, potomstwo odziedziczyłoby w roku 2012 sporą
sumkę.
  Spróbójmy ją oszacować. Oznaczmy ją x. Wówczas
$x = 1,05^{2000}$.  Zatem  $lgx = 2000lg1,05\simeq2000\cdot0,0212 = 42,4$.
Z całą pewnością $x > 10^{42}$. Gdyby to były obecne polskie grosze ta sumka by wyglądała
całkiem okazale:  $10^{42}$gr = $10^{40}$zł. Gdyby budżet Polski wynosił 1000 miliardów zł,
to $x = 10^{28}$ budżetów Polski!!!

3. Największa liczba

Jaka jest największa liczba zapisana za pomocą trzech cyfr?
Oczywiście nie 999 bo $99^9$>999. Taką liczbą jest $9^{9^9}$. Do jej napisania potrzeba
ponad trzysta milionów cyfr.Jaką długość zająłby pasek papieru z zapisaną liczbą?

4. Zadanie (podobno Lwa Tołstoja)

Grupa kosiarzy miała skosić dwie łąki z których jedna była dwa razy większa od drugiej. Pierwszego dnia kosiarze przystąpili do pracy na większej łące. Po upływie połowy dnia połowa kosiarzy  pracowała na tej samej łące i do wieczora skończyła pracę. Pozostała część kosiarzy po południu kosiła trawę na mniejszej łące, ale w tym dniu nie skończyła koszenia. W ciągu następnego dnia jeden robotnik skosił resztę łąki. Ilu kosiarzy rozpoczęło pracę?

5.Statek

Statek płynie z Krakowa do Gdańska dwa dni, a z Gdańska do Krakowa trzy dni. Ile dni płynie tratwa z Krakowa do Gdańska?

6. Achilles i żółw

       A_________________B_______C___________

 W punkcie A znajduje się Achilles, w punkcie B żółw. Zanim Achilles dobiegnie do punktu B,żółw aczkolwiek wolniejszy, dobiegnie do do punktu C zatem będzie przed Achillesem. Zanim Achilles dobiegnie do punktu C, żółw nie będzie stał w miejscu. Więc będzie przed Achillesem itd. Paradoks Zenona z Elei.

                                                   
                                                       Zenon z Elei (ok. 490 - 430 p.n.e.)