Walec obrotowy - objętość - pole powierzchni

Walcem obrotowym nazywamy figurę geometryczną powstałą w wyniku obrotu prostokąta dokoła prostej zawierającej jeden z jego boków.

Oznaczenia:
$r$  - promień podstawy walca
$l$  - tworząca walca
$h$  - wysokość walca  $/l=r/$
$P$   - pole podstawy walca
$B$  - pole powierzchni bocznej walca
$S$  - pole powierzchni całkowitej walca
$V$  - objętość walca   

Wzory:
$$P=\pi r^2$$ $$ B=2\pi r h$$ $$ S= 2\pi r^2+2\pi r h=2\pi r(r+h)$$ $$V=\pi r^2 h.$$
 Zadania
1. Przekrojem osiowym walca jest kwadrat o przekątnej długości $2\sqrt2$. Obliczyć objętość i pole powierzchni całkowitej walca.
2. Przekątna przekroju osiowego walca ma długość $4$  i tworzy z podstawą walca kąt $\frac{\pi}{3}$. Obliczyć objętość i pole powierzchni całkowitej walca.
3. Obliczyć objętość i pole powierzchni walca opisanego na sześcianie o boku $2\sqrt3$.
4. Wysokość walca jest dwa razy większa od jego promienia. Obliczyć stosunek pola podstawy do pola powierzchni całkowitej tego walca.
Rozwiązania

1. Przekątna $d$  kwadratu o boku $a$ spełnia warunek: $d=a\sqrt2$,  przy czym $a=2r=h$.

  

$2\sqrt2=a\sqrt2$.  Zatem  $a=2$  stąd  $r=1\wedge h=2$.

$V=2\pi$  oraz  $S=6\pi$. 
2. Oznaczenia jak na rysunku.

$2r=\frac{1}{2}d=2$  stąd  $r=1$  i  $h=\frac{d\sqrt3}{2}=2\sqrt3$.
Po podstawieniu do wzorów mamy:
$$V=2\pi\sqrt3\qquad S=2\pi(1+2\sqrt3)$$.