Ostrosłupy - objętości - pola powierzchni

 Oznaczenia

P - pole powierzchni podstawy
B - pole powierzchni bocznej
h - wysokość
S - pole powierzchni całkowitej
V - objętość

Ostrosłupy prawidłowe

 

 Inne Ostrosłupy

 

 

$$V=\frac{1}{3}P\cdot h\qquad S=P+B$$.

Zadania 
1. Krawędź czworościanu foremnego ma długość $a$. Obliczyć jego objętość.  
2. W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym wysokość jest równa $2\sqrt{3}$. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\frac{\pi}{3}$. Obliczyć objętość i pole powierzchni bocznej ostrosłupa.
3. Wszystkie krawędzie prawidłowego czworokątnego ostrosłupa mają długość $a$. Obliczyć objętość ostrosłupa. 

Rozwiązania:
1. $V=\frac{1}{3}P\cdot h$, gdzie $P=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$ - pole trójkąta równobocznego o boku $a$. 

 Wysokość $h$ obliczymy z trójkąta $FCD$.

$|FC|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  - wysokość trójkąta równobocznego o boku  $a$.

Punkt $E$ jest punktem przecięcia środkowych trójkąta, więc $|EC|=\frac{2}{3}|FC|=\frac{a \sqrt{3}}{3}$. Na podstawie tw. Pitagorasa $h^2=a^2- (\frac{a \sqrt{3}}{3})^2=\frac{2a^2}{3}$.

Dalej $h= \frac{a \sqrt{6}}{3}$      i $$V=\frac{a^3 \sqrt{2}}{12}.$$
 2. Oznaczenia jak na rysunku.



Podstawą ostrosłupa jest sześciokąt foremny, który składa się z sześciu równobocznych trójkątów o  boku długości $a$. Zatem  $P=6\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{3a^2\sqrt3}{2}$.
Powierzchnia boczna składa się z sześciu trójkątów równormiennych o podstawie $a$ i wysokości $h'$. Zatem  $B= 6\cdot\frac{1}{2}a\cdot h'=3a\cdot h'$. Pozostaje obliczyć $a$ oraz $h'$.
$|OK|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  - wysokość trójkąta równobocznego o boku  $a$  i
$|OK|=h ctg{\frac{\pi}{3}}=2\sqrt3\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=2$, więc  $\frac{a\sqrt{3}}{2}=2$ stąd $a=\frac{4\sqrt{3}}{3}$.
W trójkącie $KOW\ h'=2|OK|=4$.

$V=\frac{1}{3}P\cdot h=\frac{1}{3}\cdot8\sqrt3\cdot2\sqrt3=16$.

$B= 3a\cdot h'=3\cdot\frac{4\sqrt{3}}{3}\cdot4=16\sqrt{3}$.