Dzięki odkryciu twierdzenia o kwadracie przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego, które obecnie znamy jako twierdzenie Pitagorasa, wykazał istnienie dotychczas nie znanych liczb.
Pojęcie liczby u Greków było utożsamiane z liczbą całkowitą dodatnią lub ułamkiem postaci $\frac{p}{q}$, gdzie p,q są liczbami całkowitymi dodatnimi.
Powstał problem: "każdej liczbie odpowiada odcinek, dla którego ta liczba jest jego długością, lecz nie dla każdego odcinka istnieje liczba która jest jego długością".
Takim odcinkiem jest np. przekątna kwadratu o boku 1. Niech d będzie długością przekątnej tego kwadratu. Wówczas
$d^2$ = $1^2$ + $1^2$ czyli $d^2$ = 2, ponieważ 1 < d < 2 bo $1^2$ = 1 i $2^2$ = 4 zatem d nie jest liczbą całkowitą. Znajdywano coraz lepsze przybliżenia liczby d: $\frac{4}{3}$ < d < $\frac{17}{12}$ bo
$\frac{16}{9}$ < $d^2$ < $\frac{289}{144}$ i.t.d. .
Mimo wysiłków nie znaleziono ułamka, którego kwadrat równałby się liczbie 2. Zrodziło się pytanie.Czy taki ułamek istnieje?Odpowiedź na to pytanie dał następujący tok rozumowania:
Załóżmy, że istnieje nieskracalny ułamek $\frac{p}{q}$ gdzie p, q to liczby całkowite dodatnie, takie że kwadrat tego ułamka jest równy 2 czyli $p^2$ = 2$q^2$. Z tej równości wynika, że p dzieli się przez 2 i q dzieli się przez 2. Jest to sprzeczne z założeniem, że liczby p i q są względnie pierwsze. Sprzeczność jest skutkiem fałszywego założenia, że istnieje nieskracalny ułamek $\frac{p}{q}$, którego kwadrat jest równy 2.
Ten rodzaj dowodu nosi nazwę sprowadzania do absurdu (łac. reductio ad absurdum).
Dowód, że długości przekątnej kwadratu o boku 1 nie da się wyrazić dotychczas znanymi liczbami pojawił się pod koniec V wieku p.n.e., gdyż wiadomo,że nauczyciel Platona Teodor z Cyreny (V - IV w.p.n.e.) wykazał niewymierność liczb: $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$, czy $\sqrt{17}$.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz