Kula - objętość - pole powierzchni

Kulą nazywamy figurę obrotową powstałą w wyniku obrotu półkola dokoła prostej zawierającej średnicę półkola.

  
Oznaczenia:
$r$  -  promień kuli
$S$  -  powierzchnia kuli
$V$  -  objętość kuli

Wzory:
$$S=4\pi r^2$$ $$V=\frac{4}{3}\pi r^3.$$  

Zadania
1. W sześcian o boku $a$ wpisano kulę. Oblicz jej objętość i pole powierzchni.
2.Na sześcianie o boku $a$ opisano kulę. Oblicz jej objętość i pole powierzchni.
3. Na czworościanie foremnym o boku $a$  opisano kulę. Oblicz jej objętość.
4. W czworościan foremny o boku $a$  wpisano kulę. Oblicz jej pole powierzchni.  

 

Stożek obrotowy - objętość - pole powierzchni

Stożkiem obrotowym nazywamy figurę geometryczną powstałą w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego dokoła prostej zawierającej jedną z przyprostokątnych.
             

                                                                                                                                    
 Oznaczenia:
$h$  -  wysokość stożka
$r$  -  promień podstawy stożka
$l$  -  tworząca stożka
$P$  -  pole podstawy
$B$  -  pole powierzchni bocznej
$S$  -  pole powierzchni całkowitej
$V$  -  objętość

Wzory:
$$P=\pi r^2$$ $$B=\pi rl$$ $$S=\pi r^2+\pi rl=\pi r(r+l)$$ $$V=\frac{1}{3}\pi r^2 h$$   

Zadania

1. Obliczyć objętość i pole powierzchni całkowitej stożka wiedząc, że średnica podstawy ma długość $2$ a kąt rozwarcia stożka ma miarę $\frac{\pi}{3}$.
2. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym o polu $8$. Obliczyć objętość i pole powierzchni całkowitej stożka.
3. Wyznaczyć kąt rozwarcia stożka wiedząc, że pole powierzchni bocznej jest dwa razy większe od pola podstawy tego stożka.
4. Przez punkty dzielące wysokość stożka na trzy równe części poprowadzono płaszczyzny równoległe do podstawy stożka. Wiedząc, że objętość stożka jest równa $V$ obliczyć objętości poszczególnych części.

Rozwiązania:
4. Niech $V_1,\ V_2,\ V_3$  będą objętościami figur $f_1,\ f_2,\ f_3.$  oczywiście $V_1+V_2+V_3=V.$    

   
Ponieważ $f_1\sim(f_1\cup f_2\cup f_3)$  w skali $3$  i $f_1\sim(f_1\cup f_2)$  w skali $2$  więc $\frac{V}{V_1}=3^3\wedge\frac{V_1+V_2}{V_1}=2^3.$  Stąd $V_1=\frac{1}{27}V\wedge V_2=\frac{7}{27}V$. Z równości $\frac{1}{27}V+\frac{7}{27}V+V_3=V\Rightarrow V_3=\frac{19}{27}$. Ostatecznie $$V_1=\frac{1}{27}V$$ $$V_2=\frac{7}{27}$$ $$V_3=\frac{19}{27}.$$

 

Walec obrotowy - objętość - pole powierzchni

Walcem obrotowym nazywamy figurę geometryczną powstałą w wyniku obrotu prostokąta dokoła prostej zawierającej jeden z jego boków.

Oznaczenia:
$r$  - promień podstawy walca
$l$  - tworząca walca
$h$  - wysokość walca  $/l=r/$
$P$   - pole podstawy walca
$B$  - pole powierzchni bocznej walca
$S$  - pole powierzchni całkowitej walca
$V$  - objętość walca   

Wzory:
$$P=\pi r^2$$ $$B=2\pi r h$$ $$S= 2\pi r^2+2\pi r h=2\pi r(r+h)$$ $$V=\pi r^2 h.$$
 Zadania
1. Przekrojem osiowym walca jest kwadrat o przekątnej długości $2\sqrt2$. Obliczyć objętość i pole powierzchni całkowitej walca.
2. Przekątna przekroju osiowego walca ma długość $4$  i tworzy z podstawą walca kąt $\frac{\pi}{3}$. Obliczyć objętość i pole powierzchni całkowitej walca.
3. Obliczyć objętość i pole powierzchni walca opisanego na sześcianie o boku $2\sqrt3$.
4. Wysokość walca jest dwa razy większa od jego promienia. Obliczyć stosunek pola podstawy do pola powierzchni całkowitej tego walca.
Rozwiązania

1. Przekątna $d$  kwadratu o boku $a$ spełnia warunek: $d=a\sqrt2$,  przy czym $a=2r=h$.

  

$2\sqrt2=a\sqrt2$.  Zatem  $a=2$  stąd  $r=1\wedge h=2$.

$V=2\pi$  oraz  $S=6\pi$. 
2. Oznaczenia jak na rysunku.

$2r=\frac{1}{2}d=2$  stąd  $r=1$  i  $h=\frac{d\sqrt3}{2}=2\sqrt3$.
Po podstawieniu do wzorów mamy:
$$V=2\pi\sqrt3\qquad S=2\pi(1+2\sqrt3)$$ .

 

Ostrosłupy - objętości - pola powierzchni

 Oznaczenia

P - pole powierzchni podstawy
B - pole powierzchni bocznej
h - wysokość
S - pole powierzchni całkowitej
V - objętość

Ostrosłupy prawidłowe

 

 Inne Ostrosłupy

 

 

$$V=\frac{1}{3}P\cdot h\qquad S=P+B$$ .

Zadania 
1. Krawędź czworościanu foremnego ma długość $a$. Obliczyć jego objętość.  
2. W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym wysokość jest równa $2\sqrt{3}$. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\frac{\pi}{3}$. Obliczyć objętość i pole powierzchni bocznej ostrosłupa.
3. Wszystkie krawędzie prawidłowego czworokątnego ostrosłupa mają długość $a$. Obliczyć objętość ostrosłupa. 

Rozwiązania:
1. $V=\frac{1}{3}P\cdot h$, gdzie $P=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$ - pole trójkąta równobocznego o boku $a$. 

 Wysokość $h$ obliczymy z trójkąta $FCD$.

$|FC|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  - wysokość trójkąta równobocznego o boku  $a$.

Punkt $E$ jest punktem przecięcia środkowych trójkąta, więc $|EC|=\frac{2}{3}|FC|=\frac{a \sqrt{3}}{3}$. Na podstawie tw. Pitagorasa $h^2=a^2- (\frac{a \sqrt{3}}{3})^2=\frac{2a^2}{3}$.

Dalej $h= \frac{a \sqrt{6}}{3}$      i $$V=\frac{a^3 \sqrt{2}}{12}.$$
 2. Oznaczenia jak na rysunku.



Podstawą ostrosłupa jest sześciokąt foremny, który składa się z sześciu równobocznych trójkątów o  boku długości $a$. Zatem  $P=6\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{3a^2\sqrt3}{2}$.
Powierzchnia boczna składa się z sześciu trójkątów równormiennych o podstawie $a$ i wysokości $h'$. Zatem  $B= 6\cdot\frac{1}{2}a\cdot h'=3a\cdot h'$. Pozostaje obliczyć $a$ oraz $h'$.
$|OK|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  - wysokość trójkąta równobocznego o boku  $a$  i
$|OK|=h ctg{\frac{\pi}{3}}=2\sqrt3\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=2$, więc  $\frac{a\sqrt{3}}{2}=2$ stąd $a=\frac{4\sqrt{3}}{3}$.
W trójkącie $KOW\ h'=2|OK|=4$.

$V=\frac{1}{3}P\cdot h=\frac{1}{3}\cdot8\sqrt3\cdot2\sqrt3=16$.

$B= 3a\cdot h'=3\cdot\frac{4\sqrt{3}}{3}\cdot4=16\sqrt{3}$.